Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 48 Derivadas parciales
2
Cuando (x, y) (0, 0) a lo largo del eje x, y = 0 y
x
x y
Por tanto, el límite no existe.
2 2
2
x
2
1 1.
x
3. Evalúe lím
xy
x y
.
( xy , ) ( 00 , ) 2 2
Cuando | x|
x x y
2 2 2
,
xy
x y
2 2
| y| 0 cuando (x, y) (0, 0). Entonces,
xy
lím 0.
0 0 2 2
x y
( x, y) ( , )
sen( x+
y)
4. La función f ( xy , ) = es continua en todos los puntos salvo en (0, 0) y en la recta y = –x, donde no
x+
y
está definida. ¿Puede definirse f(0, 0) de manera que la nueva función sea continua?
Cuando (x, y) (0, 0), x + y 0 y, por consiguiente, sen( x y)
1, ya que lím sen u
x
y
u0 u
1. Entonces, si
f(0, 0) = 1, la nueva función será continua en (0, 0). Así que la discontinuidad original era removible.
En los problemas 5 a 9, halle las primeras derivadas parciales.
5. z = 2x 2 – 3xy + 4y 2 .
Al tratar y como una constante y derivando respecto a x resulta z
4x
x
3 y.
Al tratar x como una constante y derivando respecto a y resulta z
3x
y
8 y.
2 2
6. z
x y
= + .
y x
Al tratar y como una constante y derivando respecto a x se obtiene z
x
x y
2
2 y
x
Al tratar x como una constante y derivando respecto a y resulta 2
z x
y y
2 y
2 .
x
2 .
7. z = sen(2x + 3y).
z
2cos( 2x
x
3y) y
z
3cos( 2x
y
3y)
8. z = tan –1 (x 2 y) + tan –1 (xy 2 ).
2
z 2xy
y
4 2
x 1
x y 1
2 4
x y
y
2
z x
y 1
x y
2xy
1 x y
4 2 2 4
9. z = e x2 + xy .
z
x2
xy
e ( 2x x
y) y
z
xe
y
x 2
xy
10. El área de un triángulo está dada por K = 1 2 absen C . Cuando a = 20, b = 30 y C = 30°, determine:
a) La razón de cambio de K respecto a a, cuando b y C son constantes.
b) La razón de cambio de K respecto a C, cuando a y b son constantes.
c) La razón de cambio de b respecto a a, cuando K y C son constantes.
K
a)
1 1
b
a
15
2 sen C 2 ( 30)(sen 30 ) 2
K
b) ab C
C
1 cos 1 ( 20 )( 30 )(cos 30 ) 150 3
2 2
c) b = 2 K
a sen y
C
b
2K
2( 1/2 ab sen C)
b
3
2 2
a
a senC
a senC
a 2