Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Por tanto, PRS y PMQ son semejantes. Ahora, PR es perpendicular a PM y RS es perpendicular a MQ; por
ende, PS es perpendicular a PQ y PS = PQ c. Así, como PS = PQ c = PR + RS, tenemos que
(a 1 + b 1 ) c = (a 1 c) + (b 1 c)
Por el problema 7, a 1 y b 1 pueden remplazarse por a y b, respectivamente, para obtener el resultado
solicitado.
i j k
9. Cuando a = a 1 i + a 2 j + a 3 k y b = b 1 i + b 2 j + b 3 k, demuestre que a b = a1 a2 a3.
Se tiene, por la ley distributiva
b1 b2 b3
a b = (a 1 i + a 2 j + a 3 k) (b 1 i + b 2 j + b 3 k)
= a 1 i (b 1 i + b 2 j + b 3 k) + a 2 j (b 1 i + b 2 j + b 3 k) + a 3 k (b 1 i + b 2 j + b 3 k)
= (a 1 b 2 k – a 1 b 3 j) + (–a 2 b 1 k + a 2 b 3 i) + (a 3 b 1 j – a 3 b 2 i)
= (a 2 b 3 – a 3 b 2 )i – (a 1 b 3 – a 3 b 1 )j + (a 1 b 2 – a 2 b 1 )k
i j k
= a1 a2 a3
b b b
1 2 3
CAPÍTULO 50 Vectores en el espacio
10. Deduzca la ley de los senos de la trigonometría plana.
Considere el triangulo ABC, cuyos lados a, b, c son las magnitudes a, b, c, respectivamente, y cuyos
ángulos interiores son , , . Tenemos que
a + b + c = 0
Entonces, a (a + b + c) = a b + a c = 0 o a b = c a
y b (a + b + c) = b a + b c = 0 o b c = a b
Así, a b = b c = c a,
de forma que
|a|b sen = |b||c|sen = |c||a|sen
o
ab sen = bc sen = ca sen
y
sen sen sen
c a b
11. Sea a = a 1 i + a 2 j + a 3 k y b = b 1 i + b 2 j + b 3 k y c = c 1 i + c 2 j + c 3 k; demuestre que
a (b c) =
a a a
b b b
c c c
1 2 3
1 2 3
1 2 3
Por (50.13),
i j k
a (b c) = (a 1 i + a 2 j + a 3 k) b1 b2 b3
c c c
12. Demuestre que a (a c) = 0
Por (50.14), a (a c) = (a a) c = 0
1 2 3
= (a 1 i + a 2 j + a 3 k) [(b 2 c 3 – b 3 c 2 )i + (b 3 c 1 – b 1 c 3 )j + (b 1 c 2 – b 2 c 1 )k]
a a a
= a 1 (b 2 c 3 – b 3 c 2 ) + a 2 (b 3 c 1 – b 1 c 3 ) + a 3 (b 1 c 2 – b 2 c 1 ) = b b b
c c c
1 2 3
1 2 3
1 2 3