Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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5. Localice los extremos relativos de f (x) = 2 + x 2/3 y los intervalos en los que f es creciente o decreciente.
2
3
2
f x x 13 /
( ) 1/3 . Entonces, x = 0 es un número crítico, ya que f (0) no está definida (pero 0 se halla en
3x
el dominio de f ). Observe que f (x) tiende a cuando x se aproxima a 0. Si x < 0, f (x) es negativa, por lo que
f es decreciente. Cuando x > 0, f (x) es positiva y, por tanto, f es creciente. La gráfica se presenta en la figura
14.8. f tiene un mínimo absoluto en x = 0.
O
y
(0, 2)
x
CAPÍTULO 14 Valores máximos y mínimos
Fig. 14.8
6. Utilice el criterio de la segunda derivada para analizar los extremos relativos de las funciones siguientes:
a) f (x) = x(12 – 2x) 2 ; b) f (x) = x 2 + 250 x
.
a) f (x) = x(2)(12 – 2x)(–2) + (12 – 2x) 2 = (12 – 2x)(12 – 6x) = 12(x – 6)(x – 2). Entonces, 6 y 2 son los
números críticos. f (x) = 12(2x – 8) = 24(x – 4). Luego, f (6) = 48 > 0, y f (2) = –48 < 0. Por tanto, f
tiene un mínimo relativo en x = 6 y un máximo relativo en x = 2.
3
b) f ( x) 2x 250
2
x 125
2
x 2
x . Entonces, el único número crítico es 5 (donde x 3 – 125 = 0). f (x) = 2 +
500/x 3 . Como f (5) = 6 > 0, f tiene un mínimo relativo en x = 5.
7. Determine los extremos relativos de f (x) = (x – 2) 2/3 .
f ( x)
2
. Aquí, 2 es el único número crítico. Como f (2) no está definida, f (2) no estará
3( x 2) 23 /
definida. Entonces, debe intentarse con el criterio de la primera derivada. Para x < 2, f (x) < 0, y para x > 2,
f (x) > 0. Así, se tiene el caso {–, +} del criterio de la primera derivada, y f tiene un mínimo relativo en x = 2.
8. Demuestre el criterio de la primera derivada.
Sea f (x 0 ) = 0. Considérese el caso {+, –}: si f es positiva en un intervalo abierto inmediatamente a la
izquierda de x 0 y negativa en un intervalo abierto inmediatamente a la derecha de x 0 , entonces f tiene un
máximo relativo en x 0 . El teorema 13.8 permite observar que f es positiva en un intervalo abierto justo a la
izquierda de x 0 , f es creciente en ese intervalo, y que f es negativa en un intervalo abierto justo a la derecha de
x 0 , f es decreciente en ese intervalo. Por tanto, f tiene un máximo relativo en x 0 . El caso {–, +} procede del caso
{+, –} aplicado a –f. En el caso {+, +}, f será creciente en un intervalo alrededor de x 0 , y en el caso {–, –} f
será decreciente en un intervalo alrededor de x 0 . Entonces, en ambos casos f no tiene máximo ni mínimo
relativos en x 0 .
9. Demuestre el criterio de la segunda derivada: si f (x) es diferenciable en un intervalo abierto que contiene
un valor crítico x 0 de f, y f (x 0 ) existe y f (x 0 ) es positiva (negativa), entonces f tiene un mínimo (máximo)
relativo en x 0 .
Sea f (x 0 ) > 0. Entonces, por el teorema 13.8, f es creciente en x 0 . Como f (x 0 ) = 0, esto implica que f
es negativa cuando está próxima y a la izquierda de x 0 , y f es positiva cuando está próxima y a la derecha de
x 0 . En consecuencia, se tiene el caso {–, +} del criterio de la primera derivada y, por tanto, f tiene un mínimo
relativo en x 0 . En la situación opuesta, donde f (x 0 ) < 0, el resultado que acaba de comprobar se aplica a la
función g(x) = –f (x). Así, g tiene un mínimo relativo en x 0 , y, por consiguiente, f tiene un máximo relativo en x 0 .
10. Entre los números reales positivos u y v cuya suma resulta en 50, halle la selección de u y de v que haga su
producto P lo más grande posible.
P = u(50 – u). Aquí, u es cualquier número positivo menor que 50. Pero también se puede permitir que u
sea 0 o 50, ya que en tales casos, P = 0 que, con certeza, no será el valor más grande posible. Entonces, P es