Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Funciones trigonométricas inversas
Las funciones seno y coseno, además de otras funciones trigonométricas, no son uno a uno, por lo que no tienen
funciones inversas. Sin embargo, es posible restringir el dominio de las funciones trigonométricas de forma tal
que se vuelvan uno a uno.
En la gráfica de y = sen x (fig. 17.2) se muestra que en el intervalo –/2 x /2 la restricción de sen x es uno
a uno. De esta manera, se define sen –1 x como la función inversa correspondiente. El dominio de dicha función
es [–1, 1], el cual es el rango de sen x. Así,
1. sen –1 (x) = y si y sólo si sen y = x.
2. El dominio de sen –1 x es [–1, 1].
3. El rango de sen –1 x es [–/2, /2].
La gráfica de sen –1 x se obtiene de la gráfica de sen x por reflexión en la recta y = x (fig. 18.1).
y
2
– 1
1
x
2
y sen –1 x
Fig. 18.1
EJEMPLO 18.1. En general, sen –1 x = el número y en [–/2, /2] tal que sen y = x. En particular, sen –1 0 = 0,
sen –1 1 = /2, sen –1 1 1 1 1 1 1
(–1) = –/2, sen ( 2 ) / 6, sen ( 2/ 2)
/ 4, sen ( 32 / ) / 3. También, sen ( 2 ) / 6.
En general, sen –1 (–x) = –sen –1 x, ya que sen (–y) = –sen y.
La derivada de sen –1 x
Sea y = sen –1 x. Como sen x es derivable, sen –1 x es derivable por el teorema 10.2. Ahora, sen y = x y, entonces,
por derivación implícita, (cos y)y = 1. Por tanto, y = 1/(cos y). Pero cos 2 y = 1 – sen 2 y = 1 – x 2 . Así,
cos y=± 1−
x 2
. Por definición de sen –1 x, y está en el intervalo [–/2, /2] y por consiguiente, cos y 0.
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