Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Respuestas: a) r = 4 cos q; b) r = 4 cot q cosec q; c) r 2 = sec q cosec q; d) r = a sec q; e) r = b cosec q;
f)
b
sen
m cos
47. (CG) Cambie las siguientes ecuaciones polares en coordenadas rectangulares y luego trace la gráfica. Haga la
comprobación con una calculadora graficadora: a) r = 2c sen q; b) r = q; c) r = 7 sec q.
Respuestas: a) x 2 + (y – c) 2 = c 2 ; b)
2 2
y = xtan( x + y ) ; c) x = 7
48. a) Demuestre que la distancia entre dos puntos con coordenadas polares (r 1 , q 1 ) y (r 2 , q 2 ) es
CAPÍTULO 41 Coordenadas polares
2 2
2 cos(
)
1
2
1 2 1 2
b) Cuando q 1 = q 2 , ¿a cuánto se simplifica la distancia? Explique por qué.
Respuesta: |r 1 – r 2 |
c) Cuando
, ¿cuál es el resultado al usar la fórmula? Explique la importancia del resultado.
1 2
2
2 2
1
2
Respuesta:
.
d) Determine la distancia entre los puntos con coordenadas polares (1, 0) y 1,
4
Respuesta: 2−
2
49. a) Sea f una función continua tal que f(q) 0 para a < q < b. Sea A el área de la región acotada por las rectas
β
q = a y q = b, y la curva polar r = f(q). Deduzca la fórmula A =
1
( f( )) d =
1
d
2
2 β
∫ θ θ ρ
2
2 θ
α
∫ . (Sugerencia:
α
divida [a, b] en n partes iguales, cada una igual a q. Cada subregión resultante tiene un área aproximada a
1 * 2
*
2 ( f ( i )) , donde i
está en el i–ésimo subintervalo.)
b) Determine el área dentro de la cardioide r = 1 + sen q.
c) Establezca el área de un pétalo de la rosa con tres pétalos, r = cos 3q. (Sugerencia: integre de a
.)
6 6