Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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7. Encuentre la masa de una esfera de radio a si la densidad varía inversamente con el cuadrado de la distancia al
centro.
Tome la esfera como en la figura 58.7. Luego, ( xyz , , )
k k
2 2 2
2
x y z
y
/ 2 / 2 a
m
x y z dV
k
( , , ) d d d
2
8
sen
2
0 0 0
R
/ 2 / 2
/
2
8ka sendd 8ka d 4ka
unidades
0
0
z
x 2 y 2 z 2
0
P(x, y, z)
CAPÍTULO 58 Masas de densidad variable
O
y
x
Fig. 58.7
8. Encuentre el centro de masa de un cilindro circular recto de radio a y altura h si la densidad varía como la
distancia a la base.
Tome el cilindro como en la figura 58.8, de manera que su ecuación sea r = a y el volumen que se analiza
sea la parte del cilindro que se encuentra entre los planos z = 0 y z = h. Es claro que el centro de masa queda
en el eje z. Entonces,
M
∫∫∫
2
m= δ(,, z r θ)
dV = 4 (kz)r drdθ
= 2kh
xy
R
π / 2
2 2
1
= ∫ θ =
0
2
=
∫
π / 2
kh a d kπh a
∫∫∫
R
0
∫
2 2
∫
π / 2
0
a
∫
δ(,, z r θ) z dV = 2
4 ( kz ) r dz dr dθ
=
2 3 2
1
= kh a dθ
= kπh a
3
∫
π / 2
0
2
y z = M / m=
3 h. Por ende, el centro de masa tiene coordenadas (0, 0, 2 3 h).
xy
3
0
3 2
0
a
∫
z
0
h
∫
π / 2
0
4
3
∫
0
a
rdrdθ
∫
π / 2
3
kh rdrdθ
0
∫
0
a
P(x, y, z)
z
O
y
x
Fig. 58.8