Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Respuestas: a) x − 1 y − 1 = =
z − 1
2 7 −8 ; 2x + 7y – 8z – 1 = 0; b) x − 2 y − 2 = , y + 3 = 0; x + z – 4 = 0;
1 1
c) x − 2 y − 2 =
1 −1 , z – 1 = 0; x – y = 0
20. Encuentre las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la superficie dada en el punto indicado:
a) x 2 + y 2 + z 2 = 14; (1, –2, 3) Respuesta: x – 2y + 3z = 14; x − 1 y + 2 = =
z − 3
1 −2
3
b) x 2 + y 2 + z 2 = r 2 ; (x 1 , y 1 , z 1 ) Respuesta: x 1 x + y 1 y + z 1 z = r 2 ; x − x y y z z
= + = −
1
1
x1
y1
z1
c) x 2 + 2z 3 = 3y 2 ; (2, –2, –2) Respuesta: x + 3y – 2z = 0; x − 2 y + 2 = =
z + 2
1 3 −2
d) 2x 2 + 2xy + y 2 + z + 1 = 0; (1, –2, –3) Respuesta: z – 2y = 1; x – 1 = 0, y + 2 =
z + 3
2 −1
e) z = xy; (3, –4, –12) Respuesta: 4x – 3y + z = 12; x − 3 y + 4 = =
z + 12
4 −3
1
21. a) Demuestre que la suma de las intersecciones del plano tangente a la superficie x 1/2 + y 1/2 + z 1/2 = a 1/2 en
cualquiera de sus puntos es a.
b) Pruebe que la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las intersecciones del plano tangente a la
superficie x 2/3 + y 2/3 + z 2/3 = a 2/3 en cualquiera de sus puntos es a.
1
CAPÍTULO 51 Superficies y curvas en el espacio
22. Demuestre que cada par de superficies es tangente en el punto indicado:
a) x 2 + y 2 + z 2 = 18, xy = 9; (3, 3, 0).
b) x 2 + y 2 + z 2 –8x – 8y – 6z + 24 = 0, x 2 + 3y 2 + 2z 2 = 9; (2, 1, 1).
23. Pruebe que cada par de superficies es perpendicular en el punto indicado:
a) x 2 + 2y 2 – 4z 2 = 8, 4x 2 – y 2 + 2z 2 = 14; (2, 2, 1).
b) x 2 + y 2 + z 2 = 50, x 2 + y 2 – 10z + 25 = 0; (3, 4, 5).
24. Demuestre que cada una de las superficies a) 14x 2 + 11y 2 + 8z 2 = 66, b) 3z 2 – 5x + y = 0, y c) xy + yz – 4zx = 0
es perpendicular a las otras dos en el punto (1, 2, 1).
25. Identifique las superficies siguientes:
a) 36y 2 – x 2 + 36z 2 = 9.
b) 5y = –z 2 + x 2 .
c) x 2 + 4y 2 – 4z 2 –6x – 16y – 16z + 5 = 0.
Respuesta:
a) hiperboloide de una hoja (en torno al eje x); b) paraboloide hiperbólico; c) hiperboloide de
una hoja, con centro en (3, 2, –2)
26. Halle la ecuación de una curva que, cuando gira en torno a un eje adecuado, resulta en el paraboloide y 2 + z 2
– 2x = 0.
Respuesta: y = 2x o z = 2x, en torno al eje x.
27. Determine la ecuación de la superficie obtenida al girar la curva indicada en torno al eje dado. Identifique el
tipo de superficie: a) x = y 2 en torno al eje x; b) x = 2y en torno al eje x.
Respuesta:
a) x = y 2 + z 2 (paraboloide circular); b) y 2 + z 2 = x2
4
(cono circular recto).