Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 44 Series con términos positivos
Supóngase que b n converge. Sea c un número positivo tal que L < c. Entonces existe un entero positivo m
tal que a n /b n < c para todo n m. Por tanto, a n < cb n para todo n m. Pero como cb n converge, cb n también
lo hace. Por consiguiente, por el criterio de comparación a n converge. Recíprocamente, si a n converge, en-
b
tonces, b n también lo hace. (De hecho, lím n
a
que se acaba de dar.)
n
n
1
0
L
y es posible emplear el mismo tipo de argumento
2
3n
5n4
EJEMPLO 44.5. 3
diverge.
7n
2
Cuando se trata con los cocientes de polinomios, una regla práctica es ignorar todo salvo los primeros términos.
En este caso, se tiene 3 2
n 3 1
3
= ⋅ . Se intenta una comparación por paso al límite con 1 7n
7 n
n . Ahora
lím
n n
2
1
lím
3n
n
n n
3 2
3 5 4
5n 4n
3
3
3
.
7 2
n
7n
2 7
2
Como
1
diverge, el criterio de comparación por paso al límite dice que
3n
5n4
3
n
diverge.
7n
2
5 2
EJEMPLO 44.6 n
6 2
n 4n
7
converge.
Mediante la regla práctica dada en el ejemplo 44.5 respecto a los primeros términos, se observa que
5n
5n
5
6 3 2
n
= n
= n
.
Entonces, se intenta una comparación por paso al límite con 1 2
n :
lím
n
n
3 2
5 2 1
lím
n 4n 7
n
5n
2n
6 2 2
n
6 2
n 4n
7
Se divide el numerador y el denominador entre n 3 . Nótese que en el denominador se obtendría
El resultado sería
1
3
n
6 2
4 7
1 6 2
n − n + = n − 4n
+ 7 = 1− 4 7
6
4
+
6
n
n n
lím
n
5
2
n
1
4
7
4 6
n x
Por tanto, como se sabe por el ejemplo 44.2 que
1
converge, el criterio de comparación por paso al límite implica
5 2
n 2
que n
6 2
n 4n
7
converge.
5
1
5
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Considere la serie
1
, donde p es una constante. Se trata de la denominada serie p. Entonces:
n p
a) Si p > 1, la serie 1
converge.
n p
1
b) Si p 1, la serie diverge.
n p
1
Podría suponerse que p 1, ya que se conoce que la serie armónica n
diverge. También podría
suponerse que p > 0; si p 0, lím
1
n p
n
0 y el teorema de divergencia implica que la serie diverge. Se
aplica el criterio de la integral con f ( x) = 1 / x p . (f(x) es positiva y decreciente en [1, +).) Ahora,
∫
+∞
1 1
x dx u
x dx x 1 − p
p
= lím
p
=
⎤
u→+∞
∫ lím
u→+∞
1 − p ⎦⎥
1 1
1−
p
= lím
⎛ u
−
1 ⎞
.
u→+∞
⎝ 1 − p 1 − p⎠
u
1