Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Superficies y curvas en el espacio
Planos
Se sabe por la fórmula (50.22) que la ecuación de un plano tiene la forma Ax + By + Cz + D = 0, donde Ai +
Bj + Ck es un vector no cero perpendicular al plano. El plano pasa por el origen (0, 0, 0) cuando y sólo cuando
D = 0.
Esferas
De la fórmula de la distancia (50.3), se observa que una ecuación de una esfera con radio r y centro (a, b, c) es
(x – a) 2 + (y – b) 2 + (z – c) 2 = r 2
Así, una esfera con centro en el origen (0, 0, 0) y radio r tiene la ecuación
x 2 + y 2 + z 2 = r 2
Superficies cilíndricas
Una ecuación F(x, y) = 0 define ordinariamente una curva en el plano xy. Ahora, si un punto (x, y) satisface
esta ecuación, entonces para cualquier z el punto (x, y, z) en el espacio también satisface la ecuación. Por tanto,
F(x, y) = 0 determina la superficie cilíndrica obtenida al mover la curva paralela al eje z. Por ejemplo, la
ecuación x 2 + y 2 = 4 determina un círculo en el plano xy con radio 2 y centro en el origen. Si se mueve este círculo
paralelo al eje z, se obtiene un cilindro circular recto. De esta manera, lo que ordinariamente se denomina
un cilindro es un caso especial de una superficie cilíndrica.
De igual forma, una ecuación F(y, z) = 0 determina la superficie cilíndrica obtenida al mover la curva en el
plano yz definida por F(y, z) = 0 paralela al eje x. Una ecuación F(x, z) = 0 determina la superficie cilíndrica al
mover la curva en el plano xz definida por F(x, z) = 0 paralela al eje y.
Dicho con mayor precisión, las superficies cilíndricas definidas antes se denominan superficies cilíndricas
rectas. Otras superficies cilíndricas pueden obtenerse al mover la curva dada paralela a la recta que no sea
perpendicular al plano de la curva.
EJEMPLO 51.1. La ecuación z = x 2 determina una superficie cilíndrica generada al mover la parábola z = x 2 que
queda en el plano xz paralelo al eje y.
Ahora se verán ejemplos de las superficies determinadas por las ecuaciones de segundo grado en x, y y z.
Tales superficie se llaman superficies cuadráticas. Para imaginarlas es de gran ayuda la descripción de sus
intersecciones con los planos paralelos a los planos de coordenadas. Tales intersecciones reciben el nombre de
trazas.
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