Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

28
Crecimiento y decrecimiento
exponencial
Considérese una cantidad y que varía con el tiempo y que
dy
= ky
(28.1)
dx
para alguna constante k. Sea F(t) = y/e kt . Entonces, por la regla del cociente,
dF
dt
kt
e Dty−
yDe
t
=
kt
e
kt kt
e ky−
ye k 0
=
kt
=
kt = 0
e e
kt
2 2 2
Por tanto, F(t) debe ser una constante C. (¿Por qué?) Entonces, y/e kt = C y, por ende, y = Ce kt . Para evaluar C,
sea t = 0. Así, y(0) = Ce 0 = C(1) = C. Si se designa y(0) por y 0 , entonces C = y 0 y se ha obtenido la forma general
de la solución a la ecuación (28.1):
y = y 0 e kt (28.2)
Si k > 0, entonces y crece exponencialmente y k es la constante de crecimiento. Si k < 0, entonces y decrece
exponencialmente y k es la constante de decrecimiento. La constante y 0 se denomina valor inicial.
n
u
n
t
Del problema 2 del capítulo 27 se sabe que lím u 0 . Así, cuando k > 0, lím .
u
e
kt 0 Luego, una cantidad
t
e
que crece exponencialmente lo hace mucho más rápido que cualquier potencia de t. En muchos procesos naturales,
como el crecimiento bacteriano o el decrecimiento radiactivo, las cantidades aumentan o disminuyen
a una razón exponencial.
Vida media
Considérese que una cantidad y de cierta sustancia decrece exponencialmente, con un decrecimiento constante
k. Sea y 0 la cantidad en el instante t = 0. ¿En qué momento T quedará sólo a la mitad de la cantidad original?
Por (28.2) se llega a la ecuación y = y 0 e kt . Por tanto, en el instante T,
y
1
2 0 0
1
2
= y e
= e
kT
kT
kT
ln ( ) = ln ( e ) = kT
1
2
2
− ln = kT
(28.3)
T
=− ln 2 (28.4)
k
226