Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 59 Ecuaciones diferenciales
25. Resuelva xy'' + y' + x = 0.
dy
Sea p = . Entonces, dy 2
dp
2
= y la ecuación dada se convierte en x dp + p+ x=0 dx dx dx
dx
o x dp + p dx = –x dx.
La integración resulta en xp =−
1
x + C
2 2 1 , y por sustitución de p se obtiene dy C
=−
1
x + 1
, y otra integración
dx 2 x
da y =
1
x + C ln | x| + C .
4 2 2 2
26. Resuelva dy 2
2
− 2y
= 0 .
dx
Como d dx [( y) 2 ] 2 y
y , puede multiplicar la ecuación dada por 2y' para obtener 2y'y'' = 4yy', y luego
integre para obtener ( y 2
)
yy dx ydy y 2
4 4 2 C 1.
Entonces, dy
dy
= 2y
+ C
dx
2 1
, de modo que = dx y ln | 2y+ 2y 2 + C | 2 ln
2y
2 1
= x+ C . La última
2
+ C1
ecuación da 2 2 2 2
y+ y + C1 = C2e x .
1
27. Resuelva y
3
y .
2y
Multiplique por 2y' para obtener 2yy
3
. Entonces, la integración produce
y
2
( y)
1
C
y
2 1
de modo que
dy
dx
=
1
1
+ Cy
y
2
o
ydy
+ Cy
1
1
2
= dx
2
Otra integración resulta en 1+ Cy
1
= Cx
1
+ C o (C
2 1 x + C 2 ) 2 – C 1 y 2 = 1.
28. Resuelva dy 2
dy
2
+ 3 − 4y
= 0.
dx dx
Aquí se tiene que m 2 + 3m – 4 = 0, de donde m = 1, –4. La solución general es y = C 1 e x + C 2 e –4x .
29. Resuelva dy 2
dy
2
+ 3 = 0.
dx dx
Aquí, m 2 + 3m = 0, de donde m = 0, –3. La solución general es y = C 1 + C 2 e –3x .
30. Resuelva dy 2
dy
2
− 4 + 13y
= 0.
dx dx
Aquí, m 2 – 4m + 13 = 0, con raíces m 1 = 2 + 3i y m 2 = 2 – 3i. La solución general es
y = C 1 e (2+3i)x + C 2 e (2–3i)x = e 2x (C 1 e 3ix + C 2 e –3ix )
En virtud de que e iax = cos ax + i sen ax, se tiene que e 3ix = cos 3x + i sen 3x y e –3ix = cos 3x – i sen 3x. Por
tanto, la solución puede plasmarse en la forma
y = e 2x [C 1 (cos 3x + i sen 3x) + C 2 (cos 3x – i sen 3x)]
= e 2x [(C 1 + C 2 ) cos 3x + i(C 1 – C 2 ) sen 3x]
= e 2x (A cos 3x + b sen 3x)
31. Resuelva dy 2
dy
2
− 4 + 4y
= 0.
dx dx
Aquí, m 2 – 4m + 4 = 0, con raíces m = 2, 2. La solución general es y = C 1 e 2x + C 2 xe 2x .
32. Resuelva dy 2
dy
2
2
+ 3 − 4y= x .
dx dx
Del problema 6, la fracción complementaria es y = C 1 e x + C 2 xe 2x .