Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Teorema 13.5. Teorema del valor medio extendido. Se presupone que f (x) y g(x) son continuas en [a, b] y diferenciables
en (a, b). También se presupone que g(x) 0, para toda x en (a, b). Entonces, existe al menos un punto x 0
en (a, b) para el que
fb ( ) fa ( ) f ( x )
0
gb ( ) ga ( ) g( x0)
.
Puede ver una demostración en el problema 13. Advierta que el teorema del valor medio es un caso especial
cuando g(x) = x.
Teorema 13.6. Teorema del valor medio de orden superior. Si f y sus primeras n – 1 derivadas son continuas en
[a, b] y f (n) (x) existe en (a, b), entonces hay al menos un x 0 en (a, b) tal que
f ( a)
f ( a)
f ( b) = f( a)
+ ′ ( b − a ) + ′′ ( b a
2
− ) + ⋅⋅⋅
1!
2!
(Para obtener una demostración, repase el problema 14.)
Cuando b se remplaza por x, la fórmula 1 se vuelve
( n−1) ( n)
f ( a)
+
( )! ( ) f ( x )
n−1 0
b− a + ( b−a)
n − 1
n!
f ( a)
f ( a)
f ( x) = f( a)
+ ′ ( x − a ) + ′′ ( x a
2
− ) + ⋅⋅⋅
1!
2!
( n−1) ( n)
f ( a)
+
( )! ( ) f ( x )
n−1 0
x− a + ( x−a)
n − 1
n!
para algún x 0 entre a y x.
En el caso especial cuando a = 0, la fórmula (2) se vuelve
n
n
(1)
(2)
CAPÍTULO 13 Teorema del valor medio. Funciones crecientes y decrecientes
f ( ) f ( )
f ( x) = f( ) + ′ 0
x + ′′ 0
2
0
x + ⋅⋅⋅
1!
2!
f n −1
( )
( 0)
+ x
( n − 1)!
f ( x )
n
+ x
n!
( n)
n−1 0
(3)
para algún x 0 entre 0 y x.
Funciones crecientes y decrecientes
Una función f es creciente en un intervalo si u < v implica que f (u) < f (v) para toda u y v en el intervalo. De igual
forma, f es decreciente en un intervalo si u < v implica que f (u) > f (v) para toda u y v en el intervalo.
Teorema 13.7. a) Si f es positiva en un intervalo, entonces f es creciente en ese intervalo. b) Si f es negativa en
un intervalo, entonces f es decreciente en ese intervalo.
Para obtener la demostración, repase el problema 9.
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Halle el valor de x 0 enunciado en el teorema de Rolle para f (x) = x 3 – 12x en el intervalo 0
x 2 3 .
Observe que f ( 0) = f ( 2 3)
= 0 . Si f (x) = 3x 2 – 12 = 0, entonces x = 2. Luego, x 0 = 2 es el valor enunciado.
2
2. ¿Se aplica el teorema de Rolle a las funciones a) f ( x)=
x − 4x
x − 2 , y b) f x 2
( )=
x − 4x
en el intervalo (0, 4)?
x + 2
a) f (x) = 0 cuando x = 0 o x = 4. Como f tiene una discontinuidad en x = 2, un punto en [0, 4], el teorema no se
aplica.