Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 52 Derivadas direccionales. Valores máximos y mínimos
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
16. Encuentre las derivadas direccionales de la función dada en el punto indicado en la dirección señalada.
a) zx 2 xy y 2 , (3, 1), 3 .
b) zx 3 3xy y 3 1 2
, (2, 1), tan ( 3 )..
c) zy x cos xy, (0, 0), 3 .
d) z = 2x 2 + 3xy – y 2 , (1, 1), hacia (2, 1).
Respuestas: a) 1 2 ( 7+ 5 3);
b) 21 13 / 13;; c) 1 2 ( 1+ 3)
; d) 11 55 /
17. Encuentre la derivada direccional máxima para cada una de las funciones del problema 16 en el punto
indicado.
Respuestas: a) 74; b) 3 10; c) 2; d) 26
2 2
18. Demuestre que la derivada direccional máxima de V = ln x + y del problema 8 es constante a lo largo de
todo círculo x 2 + y 2 = r 2 .
19. Sobre una colina representada por z = 8 – 4x 2 – 2y 2 , encuentre a) la dirección de la máxima pendiente en (1, 1,
2) y b) la dirección de la línea de nivel (dirección para la cual z = constante). Nótese que las direcciones son
mutuamente perpendiculares.
−1 1
Respuestas: a) tan ( 2 ), tercer cuadrante; b) tan –1 (–2)
20. Demuestre que la suma de los cuadrados de las derivadas direccionales de z = f(x, y) en cualquiera de sus
puntos es constante para cualquier par de direcciones perpendiculares y es igual al cuadrado de la derivada
direccional máxima.
21. Dadas z = f(x, y) y w = g(x, y) tales que z/x = w/y y z/y = –w/x. Si 1 y 2 son dos direcciones
mutuamente perpendiculares, pruebe que en cualquier punto P(x, y), z/s 1 = w/s 2 y z/s 2 = w/s 1 .
22. Determine la derivada direccional de la función dada en el punto indicada y en la dirección señalada:
a) xy 2 z, (2, 1, 3), [1, –2, 2].
b) x 2 + y 2 + z 2 , (1, 1, 1) hacia (2, 3, 4).
c) x 2 + y 2 – 2xz, (1, 3, 2), a lo largo de x 2 + y 2 – 2xz = 6, 3x 2 – y 2 + 3z = 0 en la dirección de z creciente.
Respuestas: a) − 17 3 ; b) 6 14 / 7; c) 0
23. Analice los valores máximos y mínimos relativos para cada una de las funciones siguientes:
a) z = 2x + 4y – x 2 – y 2 – 3 Respuesta: máximo = 2 cuando x = 1, y = 2
b) z = x 3 + y 3 – 3xy Respuesta: mínimo = –1 cuando x = 1, y = 1
c) z = x 2 + 2xy + 2y 2 Respuesta: mínimo = 0 cuando x = 0, y = 0
d) z = (x – y)(1 – xy) Respuesta: ni máximo ni mínimo
e) z = 2x 2 + y 2 + 6xy + 10x – 6y + 5 Respuesta: ni máximo ni mínimo
f) z = 3x – 3y – 2x 3 – xy 2 + 2x 2 y + y 3 Respuesta: mínimo = − 6 cuando
x=− 66 / , y=
63 / ; máximo = 6
cuando x = 6 / 6, y = − 6 / 3.
g) z = xy(2x + 4y + 1) Respuesta: máximo = 1 x=− , y=−
24. Halle números positivos x, y, z tales que
1 1
216 cuando 6 12
a) x + y + z = 18 y xyz es un máximo b) xyz = 27 y x + y + z es un mínimo
c) x + y + z = 20 y xyz 2 es un máximo d) x + y + z = 12 y xy 2 z 3 es un máximo
Respuestas: a) x = y = z = 6; b) x = y = z = 3; c) x = y = 5, z = 10; d) x = 2, y = 4, z = 6