Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

53
9. Sea f(x) = x 2 – 2x + 3. Evalúe a) f(3); b) f(–3); c) f(–x); d) f(x + 2); e) f(x – 2); f) f(x + h); g) f(x + h) – f(x); h)
f( xh) f( x) .
h
a) f(3) = 3 2 – 2(3) + 3 = 9 – 6 + 3 = 6
b) f(–3) = (–3) 2 – 2(–3) + 3 = 9 + 6 + 3 = 18
c) f(–x) = (–x) 2 – 2(–x) + 3 = x 2 + 2x + 3
d) f(x + 2) = (x + 2) 2 – 2(x + 2) + 3 = x 2 + 4x + 4 – 2x – 4 + 3 = x 2 + 2x + 3
e) f(x – 2) = (x – 2) 2 – 2(x – 2) + 3 = x 2 – 4x + 4 – 2x + 4 + 3 = x 2 – 6x + 11
f) f(x + h) = (x + h) 2 – 2(x + h) + 3 = x 2 + 2hx + h 2 – 2x – 2h + 3 = x 2 + (2h – 2)x + (h 2 – 2h + 3)
g) f(x + h) – f(x) – [x 2 + (2h – 2)x + (h 2 – 2h + 3)] – (x 2 – 2x + 3) = 2hx + h 2 – 2h = h(2x + h – 2)
f( x+ h) − f( x) h( 2x + h −2)
h)
=
= 2x
+ h −2
h
h
2
10. Trace la gráfica de la función f ( x)= 4 − x y hace su dominio y su rango.
La gráfica de f es la de la ecuación y = 4 − x 2
. Para los puntos de esta gráfica, y 2 = 4 – x 2 ; es decir x 2 + y 2 = 4.
2
La gráfica de esta última ecuación es el círculo con centro en el origen y radio 2. Como y 4 x 0, la
gráfica deseada es la mitad superior de ese círculo. En la figura 6.7 se muestra que el dominio es el intervalo
–2 x 2, en tanto que el rango es el intervalo 0 y 2.
CAPÍTULO 6 Funciones
y
2
x
–2
0
2
Fig. 6.7
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
11. Si f(x) = x 2 1 7
– 4x + 6, halle a) f(0); b) f(3); c) f(–2). Demuestre que f ( 2 ) = f ( 2 ) y f(2 – h) = f(2 + h).
Respuestas: a) –6; b) 3; c) 18
x
12. Si f ( x) = − 1
,
x + 1 halla a) f(0); b) f(1); c) f(–2). Demuestre que f 1
1 1
f x
x
( ) y
f
x
.
f ( x )
Respuestas: a) –1; b) 0; c) 3
13. Si f(x) = x 2 – x, pruebe que f(x + 1) = f(–x).
ab
14. Si f(x) = 1/x, demuestre que f ( a) f( b)
f
b
a
.
5x
+ 3
15. Si y = f( x)
=
4x
− 5 , pruebe que x = f(y)