Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 30 Aplicaciones de integración II: volumen
y
16
4
1 2 3
x
Fig. 30.14
b
2
9. Justifique la fórmula del disco V = π ∫ ( f( x)) dx.
a
Se divide el intervalo [a, b] en n subintervalos iguales, cada uno de longitud x
b a
.(fig. 30.15).
n
Considere el volumen V i obtenido al girar la región i por encima del i-ésimo subintervalo en torno al eje x.
Si m i y M i son el mínimo absoluto y el máximo absoluto de f en el i-ésimo intervalo, entonces V i queda entre el
volumen de un cilindro de radio m i y altura x y el volumen de un cilindro de radio M i y altura x. Luego,
V
2 2
2 i 2
mixVi Mi
x
y, por tanto, mi
M
x
i
. (Se ha supuesto que el volumen de un cilindro de radio
r y altura h es r 2 h.) Por consiguiente, por el teorema del valor medio intermedio para la función continua
V
(f(x)) 2 * i
, existe un x i
en el i-ésimo subintervalo tal que f x
x
( *
)
2
*
2
i
y, por ello, Vi
= π ( f( xi) ) Δ x.
Entonces,
n
n
2
= ∑ i
= ∑( i )
i= 1 i=
1
*
V V π f( x ) Δ x Haciendo n + , se obtiene la fórmula del disco.
y
M i
m i
x i 1 x i
i
a
x
b
x
Fig. 30.15