Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

23
La integral definida.
Área bajo una curva
Notación sigma
La letra griega mayúscula (sigma) representa la suma repetida.
EJEMPLO 23.1.
5
a) ∑ j = 1+ 2+ 3+ 4+ 5=
15.
j= 1
3
b) ∑ ( 2i
+ 1)
= 1+ 3+ 5+
7.
i=
0
10
2 2 2 2
c) ∑ i = 2 + 3 +⋅⋅⋅+ ( 10) .
i=
2
4
d) cos j cos cos2 cos3 cos4 .
j1
En general, si f es una función definida en los enteros y si n y k son enteros tales que n k, entonces:
n
∑ f () j = f() k + f( k+ 1) +⋅⋅⋅+ f()
n
j=
k
Área bajo una curva
Supóngase que f es una función tal que f(x) 0 para toda x en el intervalo cerrado [a, b]. Su gráfica es una
curva que queda sobre o por encima del eje x (fig. 23.1). Se tiene la idea intuitiva del área A de la región
bajo la gráfica, encima del eje x y entre las rectas verticales x = a y x = b. Se especificará un método para
evaluar A.
Se escogen los puntos x 1 , x 2 ,..., x n–1 entre a y b. Sea x 0 = a y x n = b. Luego (fig. 23.2),
a = x 0 < x 1 < x 2 < ... < x n-1 < x n = b
El intervalo [a, b] se divide en n subintervalos [x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ],..., [x n–1 , x n ]. Las longitudes de estos intervalos
se simbolizan con 1 x, 2 x,..., n x. Por tanto, si 1 k n,
k x = x k – x k–1
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