Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

41
Coordenadas polares
La posición de un punto P en un plano puede describirse por sus coordenadas (x, y) respecto de un sistema de
coordenadas rectangulares. Su posición también puede determinarse al seleccionar un punto fijo O, especificando
la distancia dirigida r = OP y el ángulo q que forma OP con una semirrecta fija OX (fig. 41.1). Éste es
el sistema de coordenadas polares. El punto O se denomina polo y OX, eje polar.
P(, )
O
X
x
Fig. 41.1
A cada par de números (r, q) le corresponde un punto único. Lo contrario no es cierto. Por ejemplo, (1, 0)
y (1, 2p) describe el mismo punto en el eje polar y a una distancia 1 del polo. Ese mismo punto también corresponde
a (–1, p). [Cuando r es negativo, el punto correspondiente a (r, q) se obtiene de esta forma: el eje
polar OX se gira q radianes (en sentido contrario al de las manecillas del reloj si q es positivo, y en el sentido
de las manecillas si q es negativo) hasta una nueva posición OX' y luego se mueve |r| unidades en la semirrecta
opuesta a OX'.]
En general, un punto P con coordenadas polares (r, q) también puede describirse por (r, q 2np) y
(–r, q (2n + 1)p), donde n es cualquier entero no negativo. Además, el polo mismo corresponde a (0, q), con
q arbitrario.
EJEMPLO 41.1. En la figura 41.2 se muestran varios puntos y sus coordenadas polares. Observe que las coordenadas
polares del punto C son 1,
3
2 .
Una ecuación polar de la forma r = f(q) o F(r, q) = 0 determina una curva, que consta de todos los puntos
que corresponden a los pares (r, q) que satisfacen la ecuación. Por ejemplo, la ecuación r = 2 determina el
círculo con centro en el polo y radio 2. La ecuación r = –2 determina el mismo conjunto de puntos. En general,
(2, )
2
(1, 3 )
4
(1, )
4
(1, 0)
x
C
(1, 3 )
2
Fig. 41.2
335