Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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23. Demuestre que si se obtiene u al girar el vector unitario i en sentido contrario al de las manecillas del reloj en
torno del origen hasta el ángulo , entonces u = i cos + j sen .
1 2 2
24. Aplique la ley de los cosenos en triángulos para obtener a⋅ b= | a| | b|co s θ = 2 ( | a|
+ | b|
−| c| 2
).
25. Escriba cada uno de los vectores siguientes en la forma ai + bj:
a) El vector que une el origen con P(2, –3).
b) El vector que une P 1 (2, 3) a P 2 (4, 2).
c) El vector que une P 2 (4, 2) a P 1 (2, 3).
d) El vector unitario en la dirección de 3i + 4j.
e) El vector con magnitud 6 y dirección 120º.
Respuestas: a) 2i – 3j; b) 2i – j; c) –2i + j; d) 3 4
5 i+ 5 j ; e) − 3i+
3 3j
CAPÍTULO 39 Vectores en un plano
26. Aplique métodos vectoriales para deducir la fórmula de la distancia entre P 1 (x 1 , y 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 ).
27. Dados O(0, 0), A(3, 1) y B(1, 5) como vértices del paralelogramo OAPB, halle las coordenadas de P.
Respuesta: (4, 6)
28. a) Determine k de forma que a = 3i + 2j y b = i + kj sean perpendiculares. b) Escriba un vector perpendicular
a a = 2i + 5j.
29. Demuestre las propiedades (39.8) a (39.15).
30. Determine la proyección vectorial y la proyección escalar de b en a, dado: a) a = i – 2j y b = –3i + j; b) a =
2i + 3j y b = 10i + 2j.
Respuestas: a) –i + 2j, − 5; b) 4i + 6j, 2 13
31. Demuestre que tres vectores a, b, c, después de desplazamientos paralelos, formarán un triángulo siempre que:
a) uno de ellos sea la suma de los otros dos, o b) a + b + c = 0.
32. Pruebe que a = 3i – 6j, b = 4i + 2j y c = –7i + 4j son los lados de un triángulo rectángulo. Compruebe que:
el punto medio de la hipotenusa equidista de los vértices.
33. Halle el vector unitario tangente t = dr/ds, dado: a) r = 4i cos + 4j sen ; b) r = e i + e – j; c) r = i + 2 j.
e i
e j
Respuestas: a) –i sen + j cos ; b) ; c)
2
2
e e
i+
2θ
j
1+
4θ
2
34. a) Determine n para la curva del problema 33a); b) calcule n para la curva del problema 33c); c) encuentre
t y n dadas x = cos + sen y y = sen – cos .
Respuestas: a) = i cos – j sen ; b)
2
1
4
i
1
j; c) t = i cos + j sen , n = –i sen + j cos
1
4
2 2