Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 20 Razones
Sean A 0 y B 0 las posiciones iniciales de los barcos, y A t y B t sus posiciones t horas más tarde. Sea D la
distancia entre ellos t horas más tarde. Entonces (fig. 20.3):
D 2 = (32 – 16t) 2 + (12t) 2 y 2D dD = 2( 32 −16t)( − 16) + 2( 12t)( 12) = 2( 400t
−512).
dt
A 0
16t
A t
B 0
32 – 16t
D
12t
B t
Por tanto, dD
dt
=
400t
− 512
D
Fig. 20.3
a) Cuando t = 1, D = 20 y dD =−56 . . Se acercan a 5.6 millas/hora.
dt
b) Cuando t = 2, D = 24 y dD = 12. Se alejan a 12 millas/hora.
dt
c) Dejan de acercarse entre sí cuando dD
512
= 0, es decir, cuando t = 400 = 128 . h, momento en el que están a
dt
D = 19.2 millas de distancia.
5. Dos lados paralelos de un rectángulo se alargan a una razón de 2 pulgadas/s, mientras que los otros dos lados
se acortan de tal forma que la figura sigue siendo un rectángulo con área constante A = 50 pulg 2 . ¿Cuál es
la razón de cambio del perímetro P, cuando la longitud de un lado creciente es de a) 5 pulgadas? b) ¿10
pulgadas? c) ¿Cuáles son las dimensiones cuando el perímetro termina de decrecer?
Sea x la longitud de los lados que se alargan, y y la longitud de los otros lados, en el instante t. Entonces,
P = 2(x + y), dP
dt
a) Cuando x = 5, y = 10 y dx/dt = 2. Entonces,
5
dx
10 2 0
dt + ( ) = dx
. Luego,
dt =−4 y
b) Cuando x = 10, y = 5 y dx/dt = 2. Entonces,
dy
10 5 2 0
dt + ( ) =
dy
. Por tanto,
dt =−1 y
dx dy
= 2
⎛
+
⎞
, A= xy= 50,
dA
= x
⎝ dt dt ⎠
dt
dy
dt
+ y dx =0
dt
dP
dt = 22 ( − 4 ) =−4
pulgadas/s (decreciente)
dP
dt = 22 ( − 1 ) = 2 pulgadas/s (decreciente)
c) El perímetro dejará de crecer cuando dP/dt = 0, es decir, cuando dy/dt = –dx/dt = –2. Entonces, x(–2) +
y(2) = 0, y el rectángulo es un cuadrado de lado x = y =5 2 pulgadas.
6. El radio de una esfera es r cuando el tiempo es t segundos. Halle el radio cuando la razón de cambio del área
de la superficie y la razón de cambio del radio son iguales.
El área de superficie S = 4 2 ; por tanto, dS/dt = 8r dr/dt. Cuando dS/dt = dr/dt, 8r = 1 y el radio r = 1/8.
7. Un peso W está atado a una cuerda de 50 pies de longitud que pasa por una polea en un punto P, a 20 pies
sobre el suelo. El otro extremo de la cuerda está amarrado a un camión en un punto A, a 2 pies del suelo, como
se muestra en la figura 20.4. Si el camión se aleja a una razón de 9 pies/s, ¿cuán rápido sube el peso cuando
está a 6 pies sobre el suelo?