Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Rectas tangentes y normales
En la figura 12.1a) se presenta un ejemplo de la gráfica de una función continua f. Si P es un punto de la gráfica
que tiene abscisa x, entonces las coordenadas de P son (x, f (x)). Sea Q un punto cercano que tiene la abscisa x
+ x. Entonces las coordenadas de Q son (x + x, f (x + x)). La recta PQ tiene pendiente f ( x x ) f ( x )
x
. Cuando Q
se aproxima a P a lo largo de la gráfica, las rectas PQ se acercan más y más a la recta tangente T de la gráfica
en P (fig. 12.1b)). Por tanto, la pendiente de PQ se aproxima a la pendiente de la tangente. Así, la pendiente de
la tangente es lím
f ( x x ) f ( x )
x0 , que es la derivada f (x).
x
y
y
P(x, f (x))
P
Q(xx, f (xx))
Q
(a)
x
(b)
x
Fig. 12.1
Si la pendiente m de la tangente en un punto de la curva y = f (x) es cero, entonces la curva tiene una tangente
horizontal en ese punto, igual que en los puntos A, C y E de la figura 12.2. En general, si la derivada de
f es m en un punto (x 0 , y 0 ), la ecuación punto-pendiente de la tangente es y – y 0 = m(x – x 0 ). Si f es continua
en x 0 , pero lím x0 f '(x) = , entonces la curva tiene una tangente vertical en x 0 , así como en los puntos B y D
de la figura 12.2.
y
A
C
O
B
D
E
x
Fig. 12.2
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