Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 19 Movimientos rectilíneo y circular
Como s 0 = 1024 y v 0 = 0, la ecuación (19.2) se vuelve s = 1024 – 16t 2 , y el tiempo en el que la piedra golpea
la tierra es la solución de 1024 – 16t 2 = 0. Esto se reduce a t 2 = 64, lo que da t = 8. Como el movimiento ocurre
cuando t 0, t = 8. La ecuación (19.1) es v = –32t, lo que resulta en v = –32(8) = –256 pies/s cuando t = 8, es
decir, el momento en el que la piedra choca con la tierra. (La velocidad es negativa porque la piedra se está
moviendo hacia abajo.) La rapidez es 256 pies/s. Para cambiar a millas por hora se realiza lo siguiente:
x pies por segundo = 60x pies por minuto = 60(60x) pies por hora
Luego,
=
3600x millas por hora =
5280
(19.3) x pies porsegundos= 15 xmillaspor hora
22 .
En especial, cuando x = 256, se obtiene 174 6 11 millas por hora.
15
x millas hora
22 por .
8. Si se dispara un cohete verticalmente hacia arriba desde tierra con una velocidad inicial de 192 pies/s, ¿cuándo
alcanza su altura máxima y cuál es esa altura? También establezca cuánto tarda en llegar a tierra nuevamente y
con qué rapidez lo hace.
Las ecuaciones (19.1) y (19.2) son v = 192 – 32t y s = 192t – 16t 2 . A la altura máxima, v = 0 y, por tanto, t = 6.
Esto significa que se toma 6 segundos para llegar a la altura máxima, que es 192(6) – 16(6) 2 = 576 pies. El cohete
regresa a nivel del suelo cuando 0 = 192t – 16t 2 , es decir, cuando t = 12. En consecuencia, tardó 6 segundos para
llegar al suelo nuevamente, mismo tiempo al que empleó para alcanzar la altura máxima. La velocidad cuando
t = 12 es 192 – 32(12) = –192 pies/s. Entonces, su rapidez final es la misma que su rapidez inicial.
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
9. Demuestre que si un objeto se mueve en línea recta, su rapidez es creciente cuando su velocidad v y su
aceleración a tienen el mismo signo, y su rapidez es decreciente cuando v y a tienen signo opuesto. (Sugerencia:
la rapidez S = v. Cuando v > 0, S = v y dS/dt = dv/dt = a. Cuando v < 0, S = –v y dS/dt = –dv/dt = –a.)
10. Un objeto se mueve en línea recta de acuerdo con la ecuación s = t 3 – 6t 2 + 9t, en unidades de pies y segundos.
Determine su posición, dirección y velocidad, así como si su rapidez es creciente o decreciente cuando a) t = 1 2;
b) t = 3 2; c) t = 5 2; d) t = 4.
Respuestas:
a) s = 25
8 ft pies; movimiento a la derecha con v = 15 4
pies/s; rapidez decreciente.
b) s = 27
8 pies; movimiento a la izquierda con v = − 9 4
pies/s; rapidez creciente.
c) s = 8 5 pies; movimiento a la izquierda con v =− 9 4
pies/s; rapidez decreciente.
d) s = 4 pies; movimiento a la derecha con v = 9 pies/s; rapidez creciente.
11. La distancia de una locomotora respecto de un punto fijo sobre una vía recta en el instante t es 3t 4 – 44t 3 – 44t 2 .
¿Cuándo va en reversa?
Respuesta: 3 < t < 8
12. Examina, como en el problema 2, cada uno de los siguientes movimientos en línea recta: a) s = t 3 – 9t 2 + 24t;
b) s = t 3 – 3t 2 + 3t + 3; c) s = 2t 3 – 12t 2 + 18t – 5; d) s = 3t 4 – 28t 3 + 90t 2 – 108t.
Respuesta:
los cambios de dirección ocurren en t = 2 y t = 4 en a), no hay cambios en b), en t = 1 y t = 3 en
c) y en t = 1 en d).
13. Un objeto se mueve verticalmente hacia arriba desde el suelo de acuerdo con la ecuación s = 64t – 16t 2 .
Demuestre que ha perdido la mitad de su velocidad en los primeros 48 pies de ascenso.