Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

53
Derivación e integración
de vectores
Derivación vectorial
Sean
r = if 1 (t) + jf 2 (t) + kf 3 (t) = if 1 + jf 2 + kf 3
s = ig 1 (t) + jg 2 (t) + kg 3 (t) = ig 1 + jg 2 + kg 3
u = ih 1 (t) + jh 2 (t) + kh 3 (t) = ih 1 + jh 2 + kh 3
vectores cuyas componentes son funciones de una sola variable escalar t, con primeras y segundas derivadas
continuas.
Es posible mostrar, como en el capítulo 39 para vectores en el plano, que
d
dt
( r . s)
dr .
d
s r .
s
= + (53.1)
dt dt
Asimismo, a partir de las propiedades de los determinantes cuyas entradas son funciones de una sola variable,
se tiene que
y
d
dt
i j k i j k i j k
d
( r s)
f f f f f f
dt
1 2 3
1 2 3
f1 f2 f3
g g g g g g g g g
1 2 3
dr
ds
= × s+ r×
dt dt
1 2 3
1 2 3
d
dr d
[ r. ( s u)] .
s
( s u r. u
dt
dt
)+
dt
r . u
s d
dt
(53.2)
(53.3)
Estas fórmulas se pueden verificar desarrollando los productos antes de derivar.
De (53.2) se deduce que
d
dr
d
[ r× ( s× u)] = × ( s× u) + r×
( s×
u)
dt
dt
dt
dr
ds
du
( s u)+ r u + r s
dt
dt dt
(53.4)
456