Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 54 Integrales dobles e iteradas
z
O
z f(x, y)
z ij
c i 1 y i d
i
y
a
K
i 1
M
R ij
x
i
i
i x
b
jy
Fig. 54.3
P ij
L
R
N
x
Ahora se suman las m columnas y haciendo m +, se tiene que
m
lim ( x ) x b
( x ) dx b g2 x i
i
f i
( x , y ) dy
m a
g ( x
( )
dx
a
)
(54.4)
i 1
b
= ∫ ∫
a
g2( xi
)
g1
( xi
)
1 i
f( x, y)
dydx
Aunque no se utilizarán corchetes de aquí en adelante, debe entenderse claramente que (54.4) exige el cálculo
de dos integrales definidas simples en el orden preestablecido: primero, la integral de f (x, y) con respecto
a y (considerando x como una constante) desde y = g 1 (x), la frontera inferior de R, hasta y = g 2 (x), la frontera
superior de R, y luego la integral de este resultado con respecto a x desde la abscisa x = a del punto que queda
más hacia la izquierda de R hasta la abscisa x = b del punto que queda más hacia la derecha de R. La integral
(54.4) se denomina integral iterada o repetida.
Se deja como ejercicio sumar primero las contribuciones de los rectángulos que quedan en cada fila y luego
sobre todas las filas para obtener la integral iterada equivalente
d
c
h ( y)
h1
( y)
2
f( x, y)
dxdy
(54.5)
donde x = h 1 (y) y x = h 2 (y) son las ecuaciones de los arcos planos MKN y MLN, respectivamente.
En el problema 1 se demuestra, por un procedimiento diferente, que la integral iterada (54.4) mide el volumen
en cuestión. Para la evaluación de las integrales iteradas ver los problemas 2 al 6.
La principal dificultad al tratar con integrales iteradas en los siguientes capítulos será la inserción de los
límites de integración para cubrir la región R. Aquí se asumió la más simple de las regiones; las regiones más
complejas se consideran en los problemas 7 a 9.
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Sea z = f (x, y) no negativa y continua en la región R del plano xy, cuya frontera consta de los arcos de dos
curvas y = g 1 (x) y y = g 2 (x) que se intersecan en los puntos K y L, como en la figura 54.4. Hallar una fórmula
para el volumen V bajo la superficie z = f (x, y).