Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

4
CAPÍTULO 1 Sistemas de coordenadas lineales
b) Todos los números iguales o mayores que 2 y menores o iguales que 6: [2, 6]:
2 6
c) Todos los números mayores que – 4 y menores o iguales que 0: (– 4, 0]:
d) Todos los números mayores que 5: (5, ):
– 4 0
e) Todos los números menores o iguales que 2: (–, 2]:
5
f) 3x – 4 8 equivale a 3x 12 y, por consiguiente, a x 4. Así, se obtiene (–, 4]:
2
g) 1 < 5 – 3x < 11
– 4 < –3x < 6 (restando 5)
Por ende, se obtiene −
4
4
− 2 < x < (dividiendo entre –3; observe que las desigualdades se invierten).
( 2 4 3)
, :
3
–2 4/3
2. Describa y represente los intervalos determinados por las desigualdades siguientes: a) |x| < 2; b) |x| > 3;
c) |x – 3| < 1; d) |x – 2| < > 0; e) |x + 2| 3; f) 0 < |x – 4| < > 0.
a) Por la propiedad (1.9), esto equivale a –2 < x < 2, que define el intervalo abierto (–2, 2).
–2
2
b) Por la propiedad (1.8), |x| 3 equivale a –3 x 3. Al tomar las negaciones, |x| > 3 equivale a x < –3, o
bien, x > 3, lo que define la unión de los intervalos (–, –3) y (3, ).
–3
3
c) Por la propiedad (1.12), se dice que la distancia entre x y 3 es menor que 1, lo que equivale a 2 < x < 4.
Esto define el intervalo abierto (2, 4).
2 4
Cabe también observar que |x – 3| < 1 equivale a –1 < x –3 < 1. Al sumar 3 se obtiene 2 < x < 4.
d) Esto indica que la distancia entre x y 2 es menor que , o que 2 – < x < 2 + , lo que define el intervalo
abierto (2 – , 2 + ). Este intervalo se denomina vecindad de 2:
2 2
2