Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 10 Reglas para derivar funciones
Al tomar el límite cuando x 0 se obtiene
Δx→0
d
( = + =
dx u v) u ( x ) d v( x) v( x) d dx dx ux ( ) ud v
+ v
du
dx dx
Se observa que lim ux ( + Δx) = ux ( ) porque la diferenciabilidad de u implica su continuidad.
7. Sea entonces, f x
u ux
( ) = ( )
v
= v( x) ,
ux ( x)
ux ( )
f( xx) f( x)
v( x
x)
v( x) u(
xx)() v x u()( x v xx)
x
x
x{()( v x v x
x)}
y para x 0, d dx f ( x )
d u
dx v
[ ux ( x)() v x u()()] x v x [()( u x v xx) u()()]
x v x
x[()( v x v x
x)]
ux ( x) ux
( ) v(
x x) v( x)
v( x)
ux ( )
x
x
v( x) v( x
x)
v( x) d dx ux ( ) ux ( ) d v( x)
v
du
− u d v
dx = dx dx
[( v x)] 2 v .
2
= ( ) = −
3. Demuestre el teorema 10.1 (9): D x (x m ) = mx m–1 , cuando m es un entero no negativo.
Aplique inducción matemática. Cuando m = 0,
D x (x m ) = D x (x 0 ) = D x (1) = 0 = 0 x -1 = mx m-1
Se presupone que la fórmula es verdadera para m. Entonces, por la regla del producto,
Por tanto, la fórmula se cumple para m + 1.
D x (x m+1 ) = D x (x m x) = x m D x (x) + xD x (x m ) = x m 1 + x mx m-1
= x m + mx m = (m + 1)x m
4. Demuestre el teorema 10.1 (9): D x (x m ) = mx m–1 , cuando m es un entero negativo.
Sea m = –k, donde k es un entero positivo. Entonces, por la regla del cociente y el problema 3,
m
k
Dx( x ) Dx( x ) Dx
x
−
= =
1
( k )
k
k
xDx() 1 −1⋅Dx( x)
=
k 2
=
x
( x )
k−1
=− k x 2k
=− kx = mx
x
k
−k−1 m−1
⋅0
−kx
2k
x
k−1
5. Derive y = 4 + 2x – 3x 2 – 5x 3 – 8x 4 + 9x 5 .
dy
dx
2 3 4
= 0+ 2( 1) −3( 2x) −5( 3x ) − 8( 4x ) + 9( 5x ) = 2−6x−15x − 32x + 45x
2 3 4
6. Derive y =
1
+
3
+
2
= x + x + x
x x x
− 1
3 − 2
2 3
2
− 3
.
dy
=− x + − x + − x =−x − x − x =
dx
− 2 − 3 − 4 − 2 − 3 − 4
3( 2 ) 2( 3 ) 6 6 −
1
−
6
−
6
2 3 4
x x x
7. Derive y = 2x 1/2 + 6x 1/3 – 2x 3/2 .
dy
dx
= 2( 1 x ) + ( x ) − ( x ) − 12 /
6 1 − 23 /
2 3 12 / = x
2 3 2
− 12 / + −23 12
2x
/ − 3x
/ =
1 2
12 /
+
23 /
−3x
x x
12 /