Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 49 Diferencial total. Diferenciabilidad. Reglas de la cadena
35. Una función f (x, y) se llama homogénea de orden n si f (tx, ty) = t n f (x, y). [Por ejemplo, f (x, y) = x 2 + 2xy + 3y 2
es homogénea de orden 2; f (x, y) = x sen (y/x) + y cos (y/x) es homogénea de orden 1.] Derive f (tx, ty) = t n f (x,
y) respecto a t y remplace t por 1 para demostrar que xf x + yf y = nf. Compruebe esta fórmula mediante los dos
ejemplos dados. Ver también el problema 34b).
36. Si z = ϕ( uv , ), donde u = f (x, y) y v = g(x, y), y si u
v
x y u
y
v , demuestre que
y x
2
a)
2
2
2
2
2 2
u u v v
2 2 2 2
0 b) 2
x
y x y
x
y
2
u v
2
2 2
2 2
x x u
v
37. Encuentre
z x y z
y dado
a) 3x 2 + 4y 2 – 5z 2 = 60 Respuesta:
z
x
3x
5 z
z
y
4y
5z
b) x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 4yz + 8zx = 20 Respuesta: z
xy4z
; z
x 4x 2y z
xy2z
y 4x 2y z
c) x + 3y + 2z = ln z Respuesta:
z
z
x 1
2 z
z
3z
y 1
2z
d) z = e x cos (y + z) Respuesta:
e) sen(x + y) + sen(y + z) + sen(z + x) = 1
z
z
x
x 1 e sen( y z) ; x
z e sen( y z)
x
y 1e sen( y z)
Respuesta:
z
cos ( xy) cos ( zx)
x cos ( yz) cos ( zx) ; z
cos ( xy) cos ( yz)
y cos ( yz) cos ( zx)
38. Encuentre todas las primeras y segundas derivadas parciales de z, dado x 2 + 2yz + 2zx = 1.
Respuesta:
z
x z
x x
y ; z
z
y x
y ; 2z
x
y 2z
2 2 ; 2z
x
( x
y)
x
2z
2
x y ( x
y) ; 2z
2z
y
( x
y)
39. Sea F (x, y, z) = 0; demuestre que x y
z
y
z
x
1.
40. Sea f (x, y) = 0 y g(z, x) = 0; demuestre que f g
y
f g
y x z x
z .
2 2
41. Halle las primeras derivadas de u y v respecto a x y y y las primeras derivadas parciales de x y y respecto a u y
v, dado 2u – v + x 2 + xy = 0, u + 2v + xy – y 2 = 0.
Respuesta:
u
1
x
x
y
5 ( 4 3 ); v
1
x
x
y
5 ( 2 ); u
1
y
y
x
5 ( 2 3 ); v
4y
x
;
y 5
x
4y
x
2 2
u 2( x 2xyy
) ; y
y
2x
2 2
u 2( x 2xyy
) ; x
3x
2y
2 2
v 2( x 2xy
y ) ; y
4x 3y
2 2
v 2( x 2xy
y )
42. Sea u = x + y + z, v = x 2 + y 2 + z 2 , y w = x 3 + y 3 + z 3 . Demuestre que
x
yz y x
z
u ( x y)( x z) , v 2( x
y)( yz) ,
z
w
1
3( xz)( yz)
43. Rellene los vacíos en la representación siguiente de una demostración del teorema (49.1). Suponga que f (x, y)
es tal que f x y f y son continuas en un conjunto abierto A. Muestre que f es diferenciable en A.
Existe x* entre a y a + x tal que
y existe y* entre b y b + y tal que
f (a + x, b) – f (a, b) = f x (x*, b) x
f (a + x, b + y) – f (a + x, b) = f y (a + x, y*) y