Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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PROBLEMAS RESUELTOS
3
1. Utilice la fórmula (2) para aproximar: a) 124; b) sen 61º.
a) Sea f ( x)= 3 3
3
124, x = 125 y x = –1. Entonces, x + x = 124, f ( x+ Δx)
= 124 y f ( x)= 125 = 5.
Como
13 / 1
f x D x x 23 /
( )
x( )
1 1
/
1
3
23
1
2
1
3 ( 125)
3 5 75
La fórmula (2) resulta en 3 124 ~ 5 + ( 1 )( − 1) = 5 − 1 = 374 4 9867
75 75 75 ~ . . (Con cuatro cifras decimales, la
respuesta correcta puede mostrarse como 4.9866.)
b) Sea f(x) = sen x, x = /3 y x = /180. Entonces, x + x = 61º, f(x + x) = sen 61º y f ( x)= 32 / . Como
1
f ( x) cosxcos( /3)
2 , la fórmula (2) da
3
sen 61 ~
1
~ 0. 8660 0. 0087 0.
8747
2
2 180
(Para cuatro cifras decimales, la respuesta correcta puede mostrarse como 0.8746.)
CAPÍTULO 21 Diferenciales. Método de Newton
2. Aproxime el cambio en el volumen V de un cubo de lado x si el lado se aumenta 1%.
En este caso, x es 0.01x, f(x) = V = x 3 y f (x) = 3x 2 . Por la fórmula (1), el incremento es aproximadamente
(3x 2 )(0.01x) = 0.03x 3 . (Entonces, el volumen aumenta 3% aproximadamente.)
3. Halle dy para cada una de las funciones siguientes y = f(x):
a) y = x 3 + 4x 2 – 5x + 6.
dy = d(x 3 ) + d(4x 2 ) – d(5x) + d(6) = (3x 2 + 8x – 5) dx
b) y = (2x 3 + 5) 3/2 .
3 3 1 2 3 3 3 1 2 2
dy = ( 2x + 5) / d( 2x + 5) = 2 ( 2x + 5) / ( 6x dx)
= 9x 2 ( 2x 3 + 5) 1/
2 dx
c) y =
x
2
3
+ 2x+
1
2 .
x + 3
2 3 3 2
( x + 3) d( x + 2x+ 1) − ( x + 2x+ 1) d( x + 3)
dy =
2 2
( x + 3)
2 2 3
( x + 3)( 3x + 2) dx− ( x + 2x+
1)( 2x)
dx 4 2
=
=
x + 7x
− 2x+
6
2 2
2 2
dx
( x + 3)
( x + 3)
d) y = cos 2 2x + sen 3x.
dy = 2 cos 2xd (cos 2x) + d(sen 3x)
= (2 cos 2x)(–2 sen 2x dx) + 3 cos 3x dx
= –4 sen 2x cos 2x dx + 3 cos 3x dx
= (–2 sen 4x + 3 cos 3x) dx
4. Utilice diferenciales para hallar dy
dx :
a) xy + x – 2y = 5.
b)
d(xy) + dx – d(2y) = d(5)
xdy + ydx + dx – 2dy = 0
(x – 2)dy + (y + 1)dx = 0
dy y
=− + 1
dx x − 2
2x
3y
− = 8.
y x
ydx xdy
xdy ydx
2
2
3
2
0
y
x