Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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6. Halle el área de la superficie de revolución que se crea al girar alrededor del eje x la hipocicloide x = cos 3 ,
y = a sen 3 .
La superficie requerida se forma por el giro del arco de = 0 a = . Se tiene que
dx
2
3a
cos sen ,
d dy
2
3a
sen cos y
dx dy
d
a
d 2
2
d 2 2 2
9 cos sen . Entonces,
S
2
y
dx dy
2
3
22 ( )
d 22 ( ) ( asen
) 3acossen d
0 d
d
0
2
12a
5
2 2
(unidades cuadradas)
7. Halle el área de la superficie de revolución creada cuando se gira la cardioide x = cos 3 – cos 2, y = 2 sen
– sen 2 alrededor del eje x.
y
La superficie requerida se forma por el giro del arco de = 0 a = (fig. 36.2). Se tiene que
dx
2sen2sen 2,
d
O
y
Fig. 36.2
0
dy
2cos
2cos 2,
d
2
dx dy
d 2
d 81 sen sen2 cos cos2
81 cos
x
CAPÍTULO 36 Aplicaciones de la integración III: área de una superficie de revolución
Entonces,
S 2 ( 2sen sen 2)( 2 2 1cos )
d
0
8 2
0
se n ( 1 cos ) 16 2
d
( 1 cos )
5
3 5 2 2
0
128
5
(unidades al cuadrado)
8. Demuestre que el área de la superficie de un cilindro de radio r y altura h es 2rh.
La superficie se crea cuando se gira alrededor del eje x la curva y = r, de x = 0 a x = h. Como dy
dx = 0 ,
2
1+ ⎛ dy ⎞
1
⎝ dx ⎠ = . Entonces, por (36.1),
h
h
S2 rdx2rx 2rh
0 0
9. Demuestre que el área de la superficie de una esfera de radio r es 4r 2 .
2 2
El área de la superficie se crea al girar en torno al eje x el semicírculo y = r − x de x = –r a x = r. Por
simetría, éste es el doble del área de la superficie de x = 0 a x = r. Como y 2 = r 2 – x 2 ,
2y dy =− 2x
y, por tanto,
dx
dy
dx
=−
x
y 1+ ⎛ dy ⎞
1
y
⎝ dx ⎠
2
2
= +
x x
2
=
y
+ y
2
y
2 2
=
r
y
2
2