Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 33 Técnicas de integración III: integración por fracciones parciales
5. Halle x 3 x 2
+ + x + 2
4 2
dx .
x + 3x
+ 2
x 4 + 3x 2 + 2 = (x 2 + 1)(x 2 + 2). Se escribe x 3 x 2
+ + x + 2 Ax B Cx D
4 2
=
+
2
+
+
2
x + 3x
+ 2 x + 1 x + 2
x 3 + x 2 + x + 2 = (Ax + B)(x 2 + 2) + (Cx + D)(x 2 + 1)
= (A + C)x 3 + (B + D)x 2 + (2A + C)x + (2B + D)
y se obtiene
Por consiguiente, A + C = 1, B + D = 1, 2A + C = 1 y 2B + D = 2. Al despejar simultáneamente se obtiene
A = 0, B = 1, C = 1 y D = 0. Entonces,
5 4 3 2
6. Halle x − x + 4x − 4x + 8x−4
2 3
dx.
( x + 2)
3 2
x + x + x+
2
dx =
x + 3x
+ 2
1
dx +
x
dx
x + 1 x + 2
4 2 2 2
tan 1 1 2
x+ ln( x + 2)
+ C
=
−
Se escribe x 5 x 4 x 3 x 2
− + 4 − 4 + 8 x −4
Ax B Cx D
2 3
=
+
2
+
+
2 2
+
Ex+
F
. Entonces,
2 3
( x + 2) x + 2 ( x + 2) ( x + 2)
x 5 – x 4 + 4x 3 – 4x 2 + 8x – 4 = (Ax + B)(x 2 + 2) 2 (Cx + D)(x 2 + 2) + Ex + F
2
= Ax 5 + Bx 4 + (4A + C)x 3 + (4B + D)x 2 + (4A + 2C + E)x
+ (4B + 2D + F)
de donde A = 1, B = –1, C = 0, D = 0, E = 4, F = 0. Así, la integral dada es igual a
Por la fórmula abreviada II,
( x−
1)
dx xdx xdx
+ 4 =
dx
x + 2 ( x + 2)
x + 2 − x + 2
+
2 2 3 2 2
4
x dx
( x + 2)
2 3
y por la fórmula abreviada I,
xdx 1 2xdx
1 2
2 2
x
x + 2
= 2
x + 2
= 2
ln( +2)
Entonces,
xdx
( x + 2)
2 3
2 3 1 2
=
1
( x + 2) ( 2x) dx =
1
( − 2 )( x + 2)
2
2
− − 2
=−
1
4
1
( x + 2)
2 2
5 4 3 2
x − x + 4x − 4x + 8x−4
2 3
dx
1 2 2 −1
= ln( x + 2) − tan
x
( x + 2)
2 2 ( )
−
1
2 ( x + 2)
2 2
+ C
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
En los problemas 7 a 25 evalúe las integrales dadas.
7. dx 1 x 3
2
x − 9
= −
ln
6 x + 3
+ C
8.
xdx
2
x −3x−
4
1
4
= ln ( x+ 1)( x − 4)
+ C
5
2
9. x − 3x−1
x x x dx x ( x + 2)
3 2
= ln
+ − 2
x − 1
12 32
+ C