Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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El álgebra de vectores expuesta en el capítulo 39 se cumple aquí sólo con los cambios que la diferencia en
dimensiones requiere. Por ejemplo, si a = a 1 i + a 2 j + a 3 k y b = b 1 i + b 2 j + b 3 k, entonces,
ka = ka 1 i + ka 2 j + ka 3 k para k cualquier escalar
a = b si y sólo si a 1 = b 1 , a 2 = b 2 y a 3 = b 3
a b = (a 1 b 1 )i + (a 2 b 2 )j + (a 3 b 3 )k
a · b = |a||b| cos , donde es el ángulo más pequeño entre a y b
i · i = j · j = k · k = 1 e i · j = j · k = k · i = 0
2 2 2
||= a a a a1
a2
a3
a · b = 0 si y sólo si a = 0 o b = 0 o a y b son perpendiculares
CAPÍTULO 50 Vectores en el espacio
De (50.1), tenemos que
2 2 2
||= r r . r = x + y + z
(50.2)
como la distancia del punto P(x, y, z) al origen. También, si P 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) y P 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) son dos puntos cualesquiera
(fig. 50.3), entonces
y
P 1 P 2 = P 1 B + BP 2 = P 1 A + AB + BP 2 = (x 2 – x 1 )i + (y 2 – y 1 )j + (z 2 – z 1 )k
2
2
2
| PP 1 2
| = ( x2 − x1) + ( y2 − y1) + ( z2 −z1)
(50.3)
es la fórmula ya conocida para la distancia entre dos puntos (véanse los problemas 1 a 3).
z
z
P 2 (x 2 , y 2 , z 2 )
a
i
P 1 (x 1 , y 1 , z 1 )
k
j
A
B
y
k
i
j
B
y
x
Fig. 50.3
x
Fig. 50.4
Cosenos directores de un vector
Sean a = a 1 i + a 2 j + a 3 k vectores que forman los ángulos , y , respectivamente, con los ejes positivos x, y y
z, como se indica en la figura 50.4. De
i · a = |i||a| cos = |a| cos , j · a = |a| cos , k · a = |a| cos