Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 21 Diferenciales. Método de Newton
18. Halle dy/dx en los ejemplos siguientes, por medio de diferenciales:
a) 2xy 3 + 3x 2 y = 1
2
Respuesta:
2yy
( + 3x)
−
2
3x( 2y + x)
b) xy = sen(x – y) Respuesta: cos( x−
y ) − y
cos( x− y)
+ x
.
19. (CG) Utilice el método de Newton para hallar las soluciones a estas ecuaciones, con cuatro cifras decimales:
a) x 3 + 3x + 1 = 0 Respuesta: –0.3222.
b) x – cos x = 0 Respuesta: 0.7391.
c) x 3 + 2x 2 – 4 = 0 Respuesta: 1.1304.
20. (CG) Aplique el método de Newton para aproximar con cuatro cifras decimales:
4
a) 3
5
b) 247
Respuesta: 1.3161.
Respuesta: 3.0098.
21. a) Compruebe que el método de Newton para calcular r de la ecuación x = 1 ⎛
x + r ⎞
n+ 1
2
n
⎝
⎜ xn
⎠
⎟ .
b) (CG) Aplique el inciso a) para aproximar 5 con cuatro decimales.
Respuesta: b) 2.2361.
22. (CG) Demuestre que x 3 + x 2 – 3 = 0 tiene una sola solución en (1, 2) y aplique el método de Newton para
aproximar hasta cuatro decimales.
Respuesta: 1.1746.
23. Demuestre que el método de Newton no funciona si se aplica la ecuación x 1/3 = 0, con x 0 = 1.
24. Pruebe que el método de Newton no da aproximaciones a las soluciones de las ecuaciones siguientes,
comenzando con los valores iniciales dados y explique por qué no funciona en tales casos.
a) x 3 – 3x 2 + 3x + 2 = 0, con x 0 = 1.
b) x 3 – 3x 2 + x – 1 = 0, con x 0 = 1.
⎧
⎪
x−2 parax≥2
c) f ( x)=
⎨
, con x 0 = 3.
⎩⎪ − 2− x parax<
2
25. (CG) Aproxime p utilizando el método de Newton para hallar una solución de cos x + 1 = 0.
Respuesta:
3.141 592 654. (Observe cuánto demora la respuesta para estabilizarse.)
26. (CG) Utilice el método de Newton para calcular la única solución positiva de cos x =
x
. 2
Respuesta: 1.029 866 529.