Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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unidades hacia arriba (fig. 5.18). El centro de la elipse queda en (1, 2), el eje mayor se sitúa sobre la recta x =
1 y el eje menor queda sobre la recta y = 2.
15. ¿Cómo se relaciona la gráfica de una ecuación F(x – a, y – b) = 0 con la gráfica de la ecuación F(x, y) = 0?
Un punto (u, v) está en la gráfica de F(x – a, y – b) = 0 si y sólo si el punto (u – a, v – b) está en la gráfica
de F(x, y) = 0. Entonces, en la gráfica de F(x – a, y – b) = 0 se obtiene al mover cada punto de la gráfica de
F(x, y) = 0 a unidades a la derecha y b unidades hacia arriba. (Si a es negativo, se mueve el punto |a| unidades
a la izquierda. Si b es negativo, se mueve el punto |b| unidades hacia abajo.) Tal movimiento se denomina
traslación.
16. Identifique la gráfica de la ecuación y = x 2 – 2x.
Al completar el cuadrado en x se llega a y + 1 = (x – 1) 2 . Con base en los resultados del problema 15, la
gráfica se obtiene mediante una traslación de la parábola y = x 2 de manera que el nuevo vértice es (1, –1)
[observe que y + 1 es y – (–1)], como se muestra en la figura 5.19.
y
(1, 5)
y
CAPÍTULO 5 Ecuaciones y sus gráficas
(–1, 2)
(1, 2)
(3, 2)
3
x
2
1
(1, –1)
–1
1
2 3
x
Fig. 5.18
–1
Fig. 5.19
17. Identifique la gráfica de 4x 2 – 9y 2 – 16x + 18y – 29 = 0.
Mediante factorización se tiene que 4(x 2 – 4x) – 9(y 2 – 2y) – 29 = 0, y luego al completar el cuadrado en x y
en y se produce 4(x – 2) 2 – 9(y – 1) 2 = 36. Al dividir entre 36 se obtiene ( x−
2 ) 2
− ( y−
1 ) 2
9 4
= 1. Según los resultados
del problema 15, la gráfica de esta ecuación se obtiene trasladando la hipérbola x2
9 – y2
= 1 dos unidades a la
4
derecha y una unidad hacia arriba, de manera que el nuevo centro de simetría de la hipérbola sea (2, 1) (fig. 5.20).
y
(2, 1)
x
Fig. 5.20