Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 40 Movimiento curvilíneo
Como v
d
y
= 4θ θ = 2 y d
1 se obtiene
dt dt 2
v= 2
i+ 2j y a=−
1
i
θ θ 3
En el punto (4, 2), = 1. Entonces,
1
v2i2j, | v| 2 2, tan 1, cos 2.
ai,
| a| 1, tan 0, cos 1.
Por ende
2
Por tanto,
1
4
4. Determine las magnitudes de las componentes tangencial y normal de aceleración para el movimiento x = e t
cos t y y = e t sen t en cualquier instante t.
Se tiene:
Entonces, a = 2e t . También, ds
dt
r = xi + yj = (e t cos t)i + (e t sen t)j
v = e t (cos t – sen t)i + e t (sen t + cos t)j
a = –2e t (sen t)i + 2e t (cos t)j
v 2 e t y | at
|
= | | =
2
ds
t
=
2
= 2 e . Finalmente,
dt
t
| a | = | a|
2 − a 2 = 2e
n
5. Una partícula se desplaza de izquierda a derecha a lo largo de la parábola y = x 2 con rapidez constante 5.
Determine la magnitud de las componentes tangencial y normal de la aceleración en (1, 1).
2
Como la rapidez es constante | a |
ds
t
=
2
= 0 . En (1, 1), y' = 2x = 2 y y'' = 2. El radio de curvatura en (1, 1)
dt
2 3/
2
( 1 + ( y′
) ) 5 5
es, entonces, R =
= .
| y′′
| 2
Por tanto, | a | = | v|
2
n
R
= 2 5 .
6. La fuerza centrífuga F (en libras) ejercida por una partícula en movimiento de peso W (en libras) en un punto
de su trayectoria está dada por la ecuación F = W |
g a n|. Halle la fuerza centrífuga ejercida por una partícula
que pesa 5 libras en los extremos de los ejes mayor y menor cuando realiza la trayectoria elíptica x = 20 cos t,
y = 15 sen t, con medidas en pies y segundos. Sea g = 32 pies/s 2 .
En este caso se tiene:
Entonces,
r = (20 cos t)i + (15 sen t)j
v = (–20 sen t)i + (15 cos t)j
a = –20(cos t)i – 15(sen t)j
t
ds
dt
= | v| = 400 sen t + 225 cos t
En los extremos del eje mayor (t = 0 o t = ):
2 2
y
2
ds
=
dt
175 sentcos
t
400 sen t + 225 cos t
2 2 2
2
2 2
| a | = 20, | a | =
ds
2
= 0, | a | = 20 − 0 = 20 y
5
25
t n
F = 32 ( 20) =
dt
8 libras
( )
En los extremos del eje menor t = π o t =
3π
:
2 2
5
75
a = 15, a t = 0, a n = 15 y F = ( 15) = libras
32
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