Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 59 Ecuaciones diferenciales
54. dy 2
dy
2
− 2 + 5y
= 0
Respuesta: y = e
dx dx
x (C 1 cos x + C 2 sen 2x)
55. dy 2
dy
2
− 4 + 5y
= 0
Respuesta: y = e
dx dx
2x (C 1 cos x + C 2 sen x)
56. dy 2
dy
2
+ 4 + 3y= 6x+ 23
Respuesta: y = C
dx dx
1 e –x + C 2 e –3x + 2x + 5
57. dy 2
3
2
+ 4y= e
dx
x
3
Respuesta: y= C x+ C x+
e x
1sen
2
2
cos 2
13
58. dy 2
dy
2
2
− 6 + 9y= x+ e
dx dx
x
3x 3x 2x
Respuesta: y= C e + C xe + e +
x
1 2
+
2
9 27
59. dy 2
2
− y= cos 2x−2sen 2x
Respuesta: y C e C e x x
dx
x − x 1 2
=
1
+
2
− 5 cos 2 + 5 sen2
60. Una partícula de masa m que se mueve en un medio que ofrece una resistencia proporcional a la velocidad está
sujeta a una fuerza de atracción proporcional al desplazamiento. Determine la ecuación del movimiento de la
partícula si el instante t = 0, s = 0, y s' = v 0 . (Sugerencia: aquí m ds 2
k ds
2
=−
1
− ks
dt dt
2
o ds 2
b ds 2
2
+ 2 + cs=
0, b > 0.)
dt dt
v
Respuesta: Si b 2 = c 2 , s = v 0 te –bt ; si b 2 < c 2 0
; s
c b e −bt
=
−
c 2
− b 2
sen t si b 2 > c 2 ,
2 2
v0
( −
s
e
b + b 2− c 2) =
t ( −
− e
b − b 2−
c 2)
( t )
2 2
2 b − c
61. Justifique el método para resolver una ecuación diferencial separable dy f x
=− ( ) por integración, es decir,
dx gy ()
f ( x) dx g( y)
dy C.
Respuesta: se derivan ambos lados ∫ f ( x) dx + ∫ g( y)
dy = C respecto a x, lo cual resulta en
f ( x) + g( y)
dy =0 . Por tanto, dy f x
=− ( ) y la solución y satisface la ecuación dada.
dx
dx gy ()