Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 7 Límites
De igual modo,
lím f ( x )
xa significa que, cuando x tiende a a, a la postre f (x) se vuelve menor que cualquier número negativo previamente
asignado. En tal caso, se dice que f (x) tiende a –cuando x tiende a a.
Sea
lím f ( x )
xa lo cual significa que cuando x tiende a a, |f (x)| progresivamente se vuelve mayor que todo número positivo
previamente asignado. Por tanto, lím xa f (x) = si y sólo si lím xa |f (x)| =+.
Estas definiciones se extienden a los límites por la derecha y por la izquierda.
EJEMPLO 7.4.
a) lím
2
x 0
x
1 b) lím
x ( x
1 c) lím 1
1 1)
2
x 0
x
EJEMPLO 7.5.
a) lím
1
. Cuando x tiende a 0 por la derecha (es decir, por medio de números positivos), 1/x es positivo
x 0
x
y poco a poco se vuelve mayor que cualquier número previamente asignado.
b) lím
1
. Cuando x tiende a 0 por la izquierda (es decir, mediante números negativos), 1/x es negativo y
x 0
x
poco a poco se vuelve menor que cualquier número previamente asignado.
Los conceptos de límite ya mencionados pueden extenderse de forma obvia al caso en que la variable tiende
a + o –. Por ejemplo,
lím f( x)
A
x
significa que f (x) tiende a a cuando x +, o, en términos más exactos, dado cualquier positivo, existe
un número N tal que siempre que x > N, entonces |f (x) – A| < . Se pueden dar definiciones similares para las
afirmaciones lím x– f (x) = A, lím x+ f (x) = +, lím x– f (x) = –, lím xa f (x) = – y lím x– f (x) = +
EJEMPLO 7.6.
lím
x
1
0 y lím
1
2
2
2
x
x
x
.
Advertencia: cuando lím xa f (x) = y lím xa g (x) = , los teoremas 7.3 a 7.5 no tienen sentido y no pueden
utilizarse.
Por ejemplo, lím
1
2
y lím
1
4
, pero
x 0
x
x 0
x
lím
1/
x
x→0
1/
x
2
4
2
= límx
= 0
x→0
Nota: se afirma que un límite, como lím xa f (x) o lím x+ f (x), existe cuando el límite es un número real, pero
no cuando el límite es +, – o . Por ejemplo, como lím x 2
x2 x
4
2
= 4, se dice que lím x 2
x2 x
4
2
existe. Sin embargo,
1
aunque lím x0 x
2 = +, no se dice que lím
1 x0 x
2
existe.
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Compruebe los siguientes cálculos sobre límites:
a) lím 5x= 5lím
x=
5⋅ 2=
10
x→2 x→2
b) lím ( 2x+ 3) = 2lím x + lím3 = 2⋅ 2+ 3=
7
x→2 x→2 x→2
2
c) lím ( x 4x1)
4813
x2