Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

201
1
36. Sea cos x para x<
0
f ( x)
=
. Evalúe
{ f( x) dx.
/
1−
x para x≥0
2
3h
37. Evalúe lím
1 5
dx.
h0
h 3
3 x 7
Respuesta:
3
2
Respuesta: 5
34
38. (Regla del punto medio) En una suma de aproximación (23.1) f( x ) x,
si se selecciona x k
como el punto
medio del k-ésimo subintervalo, la suma se obtiene por la regla del punto medio. Aplique la regla del punto medio
1
2
para aproximar x dx,
mediante una división en cinco subintervalos iguales, y compare con el resultado
0
exacto de 1 3 .
Respuesta: 0.33
39. (Regla de Simpson) Si se divide [a, b] en n subintervalos iguales, donde n es par, la siguiente suma de
aproximación para
b
a
f( x) dx,
b−
a
[ f( x + 4f x + 2f x + 4f x + 2f x + + 4
3n
0) (
1) (
2) (
3) (
4) … f( xn− 1) + f( xn)]
se obtiene por la regla de Simpson. Salvo por el primero y en el último términos, los coeficientes constan de 4
y 2 alternados. (La idea básica es utilizar parábolas como arcos de aproximación en lugar de segmentos de
recta como en la regla del trapecio. La regla de Simpson generalmente es mucho más precisa que la regla del
punto medio o la regla del trapecio.)
1
Aplica la regla de Simpson para aproximar a) x 2
dx y b) sen xdx
0 , con n = 4, y compara los resultados
0
con las respuestas obtenidas por el teorema fundamental.
Respuestas: a) 1 3 , que es el número exacto; b) 6 ( 2 2 1) 2.
0046 comparado con 2.
n
k
k
k
CAPÍTULO 24 Teorema fundamental del cálculo
1
3
40. Considere x dx.
a) Demuestre que el teorema fundamental da la respuesta 1
0
4 . b) (CG) Con n = 10, aproxime
(con cuatro cifras decimales) la integral por las reglas del trapecio, del punto medio y de Simpson.
Respuesta: regla del trapecio: 0.2525; del punto medio: 0.2488; de Simpson: 0.2500.
41. Evalúe:
a) lím
1
cos
cos 2 cos
n
n
n
n n
n
b) lím 2
sec sec sec ( n )
n n n 22 n 2
1
6 6 6 6 n
/
6
Respuestas: a) ( a) 1
2 3
cos 0;() b sec
xdx
xdx
0
0
3
2
x
42. a) Use una sustitución para evaluar dx (con ocho cifras decimales).
1 x 1
b) (CG) Utilice una graficadora para calcular la integral de a).
2
Respuestas: () a 3
2 2 0. 39052429;() b 0.
39052429
/ 4
3
43. (CG) Calcule xsen (tan x)
dx (con cuatro cifras decimales).
Respuesta: 0.0262
0
2
5 2
44. (CG) Considere x 3 x 2 x 1 dx. Calcule (con seis cifras decimales) su valor mediante las reglas del
1
trapecio y la de Simpson (ambas con n = 4) y compare con el valor dado por una graficadora.
Respuestas: regla del trapecio: 3.599492; de Simpson: 3.571557; calculadora graficadora: 3.571639
4
3