Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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20 x
P
30 x
CAPÍTULO 20 Razones
x
W
2
y
A
Fig. 20.4
Sea x la distancia que ha subido el peso, y y la distancia horizontal desde el punto A, donde la cuerda está
amarrada al camión, a la recta vertical que pasa por la polea. Se debe hallar dx/dt cuando dy/dt = 9 y x = 6.
Ahora
y 2 = (30 + x) 2 –(18) 2 y
dy
dt
=
30 + x
y
dx
dt
Cuando x = 6, y = 18 3 y dy/dt = 9. Entonces, 9 =
30 + 6 dx dx
, de donde
18 3 dt dt = 9 2
3 pies/s.
8. Un foco L está suspendido a H pies sobre la calle. Un objeto de h pies de altura en O, directamente bajo la luz
del foco, se mueve en línea recta a lo largo de la calle a v pies/s. Determine la fórmula de la velocidad V del
extremo de la sombra reflejada por el objeto en la calle a t segundos (fig. 20.5).
H
O
vt
h
y
T
Fig. 20.5
Después de t segundos, el objeto se ha movido a una distancia vt. Sea y la distancia de la punta de la
sombra desde O. Por triángulos semejantes, (y – vt)/y = h/H. Por tanto,
y =
Hvt
H − h
y, en consecuencia, V = dy Hv
dt
= H − h = 1
1 − ( h/ H)
v
Entonces, la velocidad de la punta de la sombra es proporcional a la velocidad del objeto, ya que el factor
de proporcionalidad depende de la razón h/H. Cuando h 0, V v, mientras que cuando h H, V +.
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
9. Un recipiente rectangular tiene 8 pies de longitud, 2 pies de ancho y 4 pies de profundidad. Si el agua fluye a
una razón de 2 pies 3 /min, ¿cuán rápido sube a la superficie cuando el agua tiene 1 pie de profundidad?
Respuesta:
1
8 pies/min