Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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PROBLEMAS RESUELTOS
1. Deduzca (51.2) y (51.3) para la recta tangente y el plano normal a la curva en el espacio x = f(t), y = g(t), z =
h(t) en el punto P 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) determinado por el valor t = t 0 . Remítase a la figura 51.7.
Sea P 0 '(x 0 + x, y 0 + y, z 0 + z) determinado por t = t 0 + t, otro punto de la curva. Cuando P 0 ' P 0 a lo
largo de la curva, la cuerda P 0 P 0 ’ tiende hacia la recta tangente a la curva en P 0 como posición límite.
Un conjunto simple de números direccionales para la cuerda P 0 P 0 ' es [x, y, z], pero se utilizará
x
y
, ,
z
t
t
t
. Entonces, cuando P 0' P 0 , t 0 y x
y
z
dx dy
, ,
, ,
dz
t
t
t
, un conjunto de números
dt dt dt
direccionales de la recta tangente en P 0 . Ahora, si P(x, y, z) es un punto arbitrario en esta tangente, entonces
[x – x 0 , y – y 0 , z – z 0 ] es un conjunto de números direccionales de P 0 P. Luego, como los conjuntos de números
direccionales son proporcionales, las ecuaciones de la recta tangente en P 0 son
x−
x0 y−
y0 z−
z0
= =
dx / dt dy / dt dz / dt
Si R(x, y, z) es un punto arbitrario en el plano normal en P 0 , entonces, como P 0 R y P 0 P son perpendiculares,
la ecuación del plano normal en P 0 es
CAPÍTULO 51 Superficies y curvas en el espacio
( x x )
dx dy
− + ( y− y ) + ( z− z )
dz
=
dt dt dt
0 0 0
0
2. Encuentre las ecuaciones de la recta tangente y el plano normal a:
a) La curva x = t, y = t 2 y z = t 3 en el punto t = 1.
b) La curva x = t – 2, y = 3t 2 + 1 y z = 2t 3 en el punto donde atraviesa el plano yz.
a) En el punto t = 1, o (1, 1, 1),
dx dy
1,
dt
= dz
dt
= 2t = 2 y dt
= 3t2 = 3 . Utilizando (51.2) se tiene, para las
ecuaciones de la tangente, x − 1 y − 1 = =
z − 1; utilizando (51.3) resulta la ecuación del plano normal
1 2 3
(x – 1) + 2(y – 1) + 3(z – 1) = x + 2y + 3z – 6 = 0.
b) La curva dada atraviesa el plano yz en el punto donde x = t – 2 = 0, es decir, en el punto t = 2 o (0,
13, 16). En este punto,
dx dy
= 1, = 6t = 12 y
dz
= 6t
dt dt
dt
2 = 24 . Las ecuaciones de la recta tangente son
x y 13
= − =
z − 16 y la ecuación del plano normal es x + 12(y – 13) + 24(z – 16) = x + 12y + 24z – 540 = 0.
1 12 24
3. Deduzca (51.4) y (51.5) para el plano tangente a la superficie F(x, y, z) = 0 en el punto P 0 (x 0 , y 0 , z 0 ). Remítase
a la figura 51.8.
Sean x = f(t), y = g(t) y z = h(t) las ecuaciones paramétricas de cualquier curva en la superficie F(x, y, z) = 0
y que pasa por el punto P 0 . Entonces, en P 0 ,
F
x
dx
dt
F
y
dy
dt
F
z
en el entendido de que todas las derivadas han sido evaluadas en P 0 .
Esta relación expresa el hecho de que la recta que pasa por P 0 con números direccionales
dx dy
, ,
dz
dt dt dt es
F
perpendicular a la recta que pasa por P 0 que tiene números direccionales ,
F
,
F
x
y
z
. El primer conjunto de
números direccionales pertenece a la tangente a la curva, la cual queda en el plano tangente de la superficie. El
segundo conjunto define la recta normal a la superficie en P 0 . Las ecuaciones de esta normal son
dz
dt
0
x
x0 y y z z
F
x
0
F
y
0
/ / F
/ z