Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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2 2
b) a + b = (3i + 4j) + (2i – j) = 5i + 3j. Entonces, | a+ b|
= 5 + 3 = 34. Como tan 3 5
y cos
5 , 34
= 30º 58'.
c) b – a = (2i – j) – (3i + 4j) = –i – 5j. Entonces, | b− a|
= 26. Como tan = 5 y cos 1/
26, = 258º
41'.
6. Demuestre que la mediana a la base de un triángulo isósceles es perpendicular a la base (fig. 39–12, donde |a| = |b|).
b
m
b a
CAPÍTULO 39 Vectores en un plano
a
Fig. 39.12
1
Del problema 3, como m biseca la base, m= 2 ( a+
b) . Entonces,
m (ba) ( ab) ( ba)
Por tanto, la mediana es perpendicular a la base.
1
2
1 1
2 ( abaabbba) 2 ( bbaa)
0
7. Si b es un vector no cero, descompón un vector a en componentes a 1 y a 2 , paralelo y perpendicular,
respectivamente, a b.
En la figura 39.13 se tiene que a = a 1 + a 2 , a 1 = cb y a 2 b = 0. Por tanto, a 2 = a – a 1 = a – cb. Además,
a 2 b = (a – cb) b = a b – c|b| 2 = 0, donde c =
a⋅
b . Entonces,
| b| 2
a b a b
b
b
1
= c = ⋅
2
| |
y a a b= a
a b
2
= −c
− ⋅
2
b
|b|
El escalar a b es la proyección escalar de a en b. El vector
a b b
es la proyección vectorial de a en b.
| b | | b | | b |
a
a 2
b
a 1
Fig. 39.13
8. Descomponga a = 4i + 3j en las componentes a 1 y a 2 , paralela y perpendicular, respectivamente, a b = 3i + j.
Del problema 7, c =
a ⋅ b
=
12 + 3 =
3
| b| 2 10 2 . Entonces,
3
a = c b= i+
j y a = a− a =− 1 2 i+ j
1
9
2
3
2
2 1
2