Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 7 Límites
f
b) lím ( x ) 0
x gx ( )
f
c) lím ( x )
x gx ( )
si n < k
si n > k. (Es + si y sólo si a n y b k tienen el mismo signo.)
f
d) lím ( x ) si n > k [El signo correcto es el de a
x gx ( )
n b k (–1) n–k .]
1
x
2
14. Pruebe que a) lím
x ( x )
3 ; b) lím
2 2
x
x 1
1; c) lím
x x 1 .
a) Sea M cualquier número negativo. Se selecciona positivo e igual al mínimo de 1 y | M 1
| . Suponga que x
3 3
< 2 y 0 < |x – 2| < . Entonces, | x 2 |
1 1
| M|
. Por tanto, > | M|
=− M. Pero (x – 2) 3 < 0. Por
1
1
| x − 2|
3
consiguiente,
( )
3 =− M.
x− x −
<
| | 3
2
2
b) Sea cualquier número positivo, y sea M = 1/. Suponga que x > M. Por ende,
x
x+ 1 − 1 = 1
x+ = 1
x+ < 1
x < 1
M
= ∈
1 1
c) Sea M cualquier número positivo. Suponga que x > M + 1. Entonces,
x
x 2
x
1
2
x
x M .
15. Evalúe: a) lím
|| x
x
0
; b) lím
|| x
x x
0
; c) lím
|| x
x x0
x
a) Cuando x > 0, |x| = x; por ende, lím
|| x
= lím 1=
1
x → 0 + x x → 0 +
b) Cuando x < 0, |x| = –x; por tanto, lím
|| x
lím 11
x 0 x x 0 c) lím
|| x no existe, ya que lím
|| x
lím
|| x
x0
x
x 0
x x 0
x
x
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
16. Evalúe los límites siguientes:
2
a) lím ( x 4x)
x2
3 2
b) lím ( x 2x 3x4)
x1
c) lím ( 3x
1 )
3
x1
( x 1)
x
d) lím
3 3
x
x0
3 3
2
x
x
e) lím
x 1
2 x 2
x 1
2
f) lím
x 4
2
x2
x 5x6
g) lím
x
x1
x
h) lím
x 2
2 x 2
x 4
i) lím
2
2
x 2 2
3x2
4x3
x 2
x 4
j) lím
x 2
2 x 2
x 4
k) lím ( x h ) x
h0
h
3 3