Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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261 20. xsen − 1 2 1 2 −1 2 1 4 ∫ ( x ) dx= 2 x sen ( x ) + 2 1− x + C 21. ln x dx ln x 2 1 C x x 2 22. Demuestre que x sen nx dx 2 para algún entero n positivo. 0 n 23. Demuestre la fórmula de reducción siguiente: sec n n xdx tan xsec n 1 24. Aplique el problema 23 para hallar sec 4 xdx. Respuesta: 1 3 2 tan (sec 2) x x+ + C 25. Pruebe la fórmula de reducción: 2 x n 2 n 1 sec n2 xdx 2 x dx 1 ⎛ x dx 2 2 = − 2 2 1 + 2 2 ( a + x ) 2n − 2⎝ ⎜ ( a + x ) ∫ ( a + x ) ∫ n n − n −1 ⎞ ⎠ ⎟ CAPÍTULO 31 Técnicas de integración I: integración por partes 2 26. Aplique el problema 25 para hallar x ∫ 2 2 2 dx. ( a + x ) Respuesta: 1 1 1 − x − 2 2 + 2 ( tan x a + x a a ) + C n+1 n 27. Demuestre x xdx x ∫ ln = n 2 [( + 1) (ln x −1)] + C para ≠ −1. ( n + 1) 28. Pruebe la fórmula de reducción xe dx a xe n n ax 1 n ax a xn 1 eaxdx . 2 x x 2 29. Utilice el problema 28 y el ejemplo 31.2 de este capítulo para demostrar que xedxe( x 2x2) C.
32 Técnicas de integración II: integrandos trigonométricos y sustituciones trigonométricas Integrandos trigonométricos k n 1. Considérense las integrales de la forma, sen xcos xdx, con k y n enteros no negativos. Tipo 1. Al menos uno de entre sen x y cos x se presenta en una potencia impar. Entonces es factible la sustitución de una función por la otra. 3 2 EJEMPLO 32.1. sen x cos xdx. Sea u = cos x. Entonces, du = –sen x dx. Por tanto, 3 2 2 2 sen xcos xdx sen xcos xsen xdx 2 ( 1 cos x)cos x sen xdx 2 2 4 2 ( 1 u ) u du ( u u ) du 1 5 5 1 3 2 u u 3 C 1 cos 5 x 1 cos 3 xC 5 3 4 7 EJEMPLO 32.2. sen x cos xdx. Sea u = sen x. Entonces, du = cos x dx y EJEMPLO 32.3. sen 5 xdx. Sea u = cos x. Entonces, du = –sen x dx y 4 7 4 6 sen xcos xdx sen xcos xcos xdx 4 2 3 4 2 4 6 u ( 1 u ) du u ( 13u 3u u ) du 5 6 8 10 ( u 3u 3u u ) du 1 6 3 7 1 9 1 11 6 u 7 u 3 u 11 u C 1 9 1 11 sen x sen x sen x 11 sen xC 6 6 3 7 7 1 3 262
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Índice de contenido 1 Sistemas de
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1 Sistemas de coordenadas lineales.
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2 Sistema de coordenadas rectangula
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11 Cuadrantes Suponga que se ha est
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3 Rectas Inclinación de una recta
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20 CAPÍTULO 3 Rectas y P 2 (x 2 ,
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24 CAPÍTULO 3 Rectas y D M 3 C M 4
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30 CAPÍTULO 4 Círculos La ecuaci
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36 CAPÍTULO 4 Círculos 22. Halle
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38 CAPÍTULO 5 Ecuaciones y sus gr
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43 -4 F' 3 F 4 -2 y 5 2 x CAPÍTULO
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8 Continuidad Función continua Una
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9 La derivada Notación delta Sea f
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10 Reglas para derivar funciones De
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14 Valores máximos y mínimos Núm
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15 Trazo de curvas. Concavidad. Sim
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130 CAPÍTULO 16 Repaso de trigonom
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17 Derivación de funciones trigono
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152 CAPÍTULO 18 Funciones trigonom
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19 Movimientos rectilíneo y circul
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20 Razones Si una cantidad y es una
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21 Diferenciales. Método de Newton
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196 CAPÍTULO 24 Teorema fundamenta
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25 El logaritmo natural La forma tr
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40 Movimiento curvilíneo Velocidad
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42 Sucesiones infinitas Sucesiones
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43 Series infinitas Sea s n una su
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380 CAPÍTULO 46 Serie de potencias
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47 Series de Taylor y de Maclaurin.
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402 CAPÍTULO 48 Derivadas parciale
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49 Diferencial total. Diferenciabil
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421 Entonces, z = f (a + x, b +
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423 El álgebra de vectores expuest
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53 Derivación e integración de ve
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54 Integrales dobles e iteradas La
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57 Integrales triples Coordenadas c
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511 e) Un cono circular recto de al
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513 Además, d(F) + d(G)+ … = 0 r
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517 2 tan xdx 2 El factor de integr
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519 Para hallar una solución en pa
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521 40. La tangente y la normal a u
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Apéndice A Fórmulas trigonométri
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