Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 33 Técnicas de integración III: integración por fracciones parciales
Caso IV
D(x) es un producto de cero o más factores lineales y uno o más factores cuadráticos irreductibles.
Regla general para el caso IV
Los factores lineales se manejan como en los casos I y II. Por cada factor cuadrático irreductible x 2 + bx + c que
se presente a la k-ésima potencia, se inserta como parte de la representación del integrando:
Ax
1
+ B1
Ax
2
B2
2
x + bx+ c
+ +
( x + bx+
c)
2 2
Ax
k
Bk
+ ...
+
+
( x 2 + bx+
c)
k
EJEMPLO 33.10. Halle 2 2
x +
3
2 2
dx.
( x + 1 )
Sea 2 2
x + 3
2 2
=
Ax + B
2
+
Cx + D
2 2
( x + 1) x + 1 ( x + 1) . Entonces,
2x 2 + 3 = (Ax + B)(x 2 + 1) + Cx + D = Ax 3 + Bx 2 + (A + C)x +(B + D)
Se comparan los coeficientes: A = 0, B = 2, A + C = 0, B + D = 3. Por tanto, C = 0, D = 1. Así,
2
2x
+ 3
dx =
2
dx +
1
( x + 1) ∫ x + 1 ( x + 1)
2 2 2 2 2
dx
−1
= 2tan
x +
1
( x + 1)
2 2
dx
En la segunda integral, sea x = tan . Entonces,
2
1 sec d
2 1
dx = = +
( 2 1 ) 2
4
= cos d
sec
2 ( sen
x + ∫
cos )
( ) = 1 −1
( tan x + x
2
+ )
=
1
+
tan
2
2 tan + 1
2 x 1
Así,
2
2x
+ 3
2 2
( x + 1)
5 −1
dx =
1
2 tan x +
x
2
C
2 x + 1
+
PROBLEMAS RESUELTOS
4 3
1. Resuelva x − x − x −1
3 2
dx.
x − x
El integrando es una fracción impropia. Por división,
4 3
x − x − x−1 x
x
x
x
3 2
= −
+ 1
3 2
= −
+ 1
2
x − x x − x x ( x − 1)
Se escribe
x + 1
=
A
+
B
+
C
y se obtiene
2 2
x ( x − 1)
x x x − 1
x + 1 = Ax(x – 1) + B(x – 1) + Cx 2