Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

234
CAPÍTULO 29 Aplicaciones de integración I: Área y longitud de arco
y
P k
P 1
P 2
P k–1
P n–1
P n
P 0
a x 0
x 1 x 2 x 3
. . . x k–1 x k
. . . x n–1 x n b
x
Fig. 29.8
Por la fórmula de la distancia (2.1),
2
P P = ( x − x ) + ( f( x ) − f( x )) 2
k−1 k k k−1
k k−1
Ahora, x k – x k–1 = x, y por el teorema del valor medio (teorema 13.4)
para algún x k
*
en (x k–1 , x k ). Luego,
f ( x ) f( x ) ( x x ) f( x ) ( x) f( x )
* *
k k1 k k1
k k
2 2 2 2
Pk 1Pk ( x)
( x)
( f( xk * )) ( 1( f( xk
* )) ) ( x
)
1 ( ( * 2 2
)) ( x) 1( f( x * 2
f x
)) x
k
k
2
Entonces,
n
k1
2
P P 1 ( f( x*
))
x
k1
k
n
k1
2
La suma de la derecha es una suma de aproximación para la integral definida ∫ 1+ ( f′
( x)) dx.
Por consiguiente,
cuando n +, se obtiene la fórmula de la longitud de
a
arco:
b
b
k
L = ∫ 1+ ( f′ ( x)) 2 dx = ∫ 1+ ( y′
) 2 dx
(29.2)
a
a
b
EJEMPLO 29.3. Halle la longitud de arco L de la curva y = x 3/2 de x = 0 a x = 5.
3
Por (29.2), como y x x
∫
5
2
12 / 3
2 ,
5
2 9
∫ 4
0
L = 1+ ( y′ ) dx= 1+
xdx
0
∫
5
4 9 12 9
= 9 ( 1 + 4 x) / 4
( 4 ) dx = + ⎤
9 2 9 32
3 ( 1 4 x) /
⎦ ⎥
0
5
0
(por la fórmula abreviada I y el teorema fundamental del cálculo)
= 8 27
(( 4 ) − 1 ) = ( − 1)
=
49 32 / 32 / 8 343
27 8
335
27