Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 17 Derivación de funciones trigonométricas
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Pruebe (17.1): lím sen
1.
0
Como sen( )
= sen
, se debe considerar sólo > 0. En la figura 17.11, sea = AOB un ángulo central
pequeño positivo de un círculo de radio OA = OB = 1. Sea C el pie de la perpendicular trazada desde B hasta
OA. Obsérseve que OC = cos y CB = sen . Sea D la intersección de OB con el arco de un círculo con centro
en O y radio OC. Entonces,
Área del sector COD área de COB área del sector AOB
D
B
O
C
OC cos , CB sen
A
Fig. 17.11
Nótese que el área del sector COD = 1 2
2 θcos θ y el área del sector AOB = 1 2 θ . [Si W es el área de un sector
determinado por un ángulo central de un círculo de radio r, entonces W/(área del círculo) = /2. Así, W/r 2
= /2 y, por tanto, W = 1 2
2 θ r .]
Entonces,
1 1 2 cos 2 ≤ sen cos ≤ 1
2 2
Al dividir entre 1 2 cos
0 se obtiene
cos
sen
1
cos
Cuando tiende a 0 + , cos 1, 1/(cos ) 1. Por tanto,
2. Pruebe (17.3): D x (sen x) = cos x.
Aquí se utilizarán (17.1) y (17.2).
Sea y = sen x. Entonces, y + y = sen (x + x) y
1lím sen
1 Así lím sen
1
0
0
y = sen(x + x) – sen x = cos x sen x + sen x cos x – sen x
= cos x sen x + sen x (cos x – 1)
( )
dy Δy
= lím = lím cosx
sen Δx
+ sen x
cos Δx
−1
dx Δx→0
Δx
Δx→0
Δx
Δx
= (cos x) lím
sen Δx
+ (sen x) lím cos Δx
−1
Δx→0 Δx
Δx→0
Δx
= (cos x)(1) + (sen x)(0) = cos x
3. Demuestre a) D x (tan x) = sec 2 x (17.5); b) D x (sec x) = tan x sec x (17.7).
a)
d
(tan x)
dx
d
dx
sen x
cos x
cos xcos
x−sen x( −sen
x
2
cos x
= ( ) = )
2 2
cos x sen x
2
=
+
2
=
1
2
= sec x
cos x cos x