Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 12 Rectas tangentes y normales
5. Halle los puntos de tangencia de las rectas tangentes horizontal y vertical a la curva x 2 – xy + y 2 = 27.
y
Por derivación implícita, 2x – xy – y + 2yy = 0, donde y
2x
.
2y
x
Para las tangentes horizontales la pendiente debe ser cero. Entonces, el numerador y – 2x de y debe ser
cero, lo cual da y = 2x. Al sustituir 2x por y en la ecuación de la curva se tiene x 2 = 9, de modo que los puntos
de tangencia son (3, 6) y (–3, –6).
Para las tangentes verticales la pendiente debe ser infinita. Así, el denominador 2y – x de y debe ser cero,
lo cual da x = 2y. Al remplazar x en la ecuación de la curva se obtiene y 2 = 9. Por consiguiente, los puntos de
tangencia son (6, 3) y (–6, –3).
6. Halle las ecuaciones de las rectas verticales que cortan las curvas a) y = x 3 + 2x 2 – 4x + 5 y b) 3y = 2x 3 + 9x 2 –
3x – 3 en puntos donde las tangentes a las dos curvas son paralelas.
Sea x = x 0 una de tales rectas. Las tangentes en x 0 tienen pendientes:
Para a): y = 3x 2 2
+ 4x – 4; en x 0 , m 1 = 3x0
+ 4x0
− 4 .
Para b): 3y = 6x 2 2
+ 18x – 3; en x 0 , m 2 = 2x0
+ 6x0
− 1.
Como m 1 = m 2 , 3 2
2
2
x0
+ 4x0 − 4= 2x0
+ 6x 0
− 1. Entonces x0
−2x0
− 3= 0, (x 0 – 3)(x 0 + 1) = 0. Por tanto, x 0 =
3 o x 0 = –1. Así, las rectas verticales son x = 3 y x = –1.
7. a) Demuestre que la ecuación punto-intersección de la tangente con pendiente m 0 a la parábola y 2 = 4px es
y = mx + p/m.
b) Demuestre que una ecuación de la recta tangente a la elipse b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 en el punto P 0 (x 0 , y 0 ) sobre la
elipse es b 2 x 0 x + a 2 y 0 y = a 2 b 2 .
2
a) y = 2p/y. Sea P 0 (x 0 , y 0 ) el punto de tangencia. Entonces, y0
= 4 px0
y m = 2p/y 0 ; por ende, y 0 = 2p/m y
1 2 2
x0
= 4 y 0
/ p=
p/ m . La ecuación de la recta tangente es y – 2p/m = m(x – p/m 2 ), lo que se reduce a y = mx +
p/m.
2
bx
bx
b) y 2 . En P 0 , m =− 2 2
0
bx
2 . Una ecuación de la recta tangente es y − y =− 0
( x −x
), la cual se reduce a
0
ay
2 2 2 2 2
0 0
0
ay
2
0
0
2
2
bxx+ ayy= bx + ay = ab [porque (x 0 , y 0 ) satisface la ecuación de la elipse].
0
ay
2
0
8. Demuestre que en el punto P 0 (x 0 , y 0 ) de la hipérbola b 2 x 2 – a 2 y 2 = a 2 b 2 , la recta tangente biseca el ángulo
incluido entre los radios focales de P 0 .
En P 0 la pendiente de la tangente a la hipérbola es b 2 x 0 /a 2 y 0 y las pendientes de los radios focales P 0 F y
P 0 F (fig. 12.3) son y 0 /(x 0 + c) y y 0 /(x 0 – c), respectivamente. Ahora
2
bx0
y0
2
2 2 2 2 2
2 2 2
ay x c
0 0 ( bx0
ay0
) bcx0
ab bcx0
tan
2
2 2
2
2
2
bx0
.
y0
( a b ) x0y0
a cy0
cxy
0 0
acy
1
2
ay x c
2 2 2 2 2 2
como bx − ay = ab y a 2 + b 2 = c 2 , y
0
0
0
0
2
y0
bx0
2
2
2 2 2 2 2
2 2
x0c
ay0
bcx0
( bx0
ay0
) bcx0
ab
tan
2
2 2
2
2
2
bx0
.
y0
( a b ) x0y0
a cy0
cxy
0 0
acy
1
2
ax x c
0 0
Entonces, = porque tan = tan .
y
0
2 2
b ( a cx0
) 2
b
2
cy ( a cx ) cy
0
0
2
b
cy
0
0
0
P 0 (x 0 , y 0 )
(–c, 0)F O F(c, 0)
x
Fig. 12.3