Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 47 Series de Taylor y de Maclaurin. Fórmula de Taylor con residuo
Aplicaciones de la fórmula de Taylor con residuo
I. Muestra de que ciertas funciones están representadas por su serie de Taylor mediante la demostración de
que lím R ( x ) 0
n
n
A partir de la fórmula de Taylor (47.1),
Si lím n R n (x) = 0 entonces
n ( k)
f () c
Rn
( x) = f( x)
−∑
( x−c)
k!
k=
0
k
n ( k)
f () c
k
f ( x) = lím ∑ ( x− c)
=
n→+∞
k!
k=
0
+∞
∑
k=
0
( k)
f () c
( x−
)
k!
c k
es decir, f(x) es igual a su serie de Taylor.
n
d
Observación: lim 0
n n !
para todo d. Para comprobarlo, recuérdese que
x
ende, por el teorema (43.5), lím n
n
n!
0 para todo x.
+∞
∑
x
n
n
!
n = 0
converge para todo x. Por
EJEMPLO 47.5. sen x es igual a su serie de Maclaurin.
Cuando f(x) = sen x, entonces toda derivada f (n) (x) es cualquiera de éstas: sen x, cos x, –sen x o –cos x y, por
consiguiente, |f (n) (x)| 1. Así,
| R ( x)|
=
n
( n+
1
f
) ( x
* )
( )! ( ) n+
1
n+
1
|( x−
c) |
x−c
≤
n + 1 ( n + 1)!
Por la observación anterior, lím |( ) n1
x
c |
n 0 . Por tanto, lím
( n 1)!
n Rn
( x)
0. Por consiguiente, sen x es igual
a su serie de Maclaurin:
+∞ k
( − ) k+
sen x =
x x
x x x
∑ 1
3 5 7
2 1
= − + − +⋅⋅⋅ (47.2)
( 2k
+ 1)! 3! 5!
7!
k=
0
II. Valores de aproximación de funciones integrales
Use una cota en R n (x) para obtener una cota en el error cuando se aproxima la suma de una serie infinita
mediante una suma parcial.
EJEMPLO 47.6. Aproxime e con cuatro cifras decimales, es decir, con un error < 0.00005. El resultado preliminar
+∞
n
x
es e < 3. Para comprobarlo, nótese que, como e =
x
∑ ,
n !
+∞
n=
0
e = 1
e = 1
∑ n
= 1 + 1 + 1
+ 1
+ 1
2 3
+ 1
! ! ! 4! 5!
+⋅⋅⋅
n=
0
< 1+ 1+
1
+
1 1 1
2
+
3
+
4
+⋅⋅⋅
2 2 2 2
+∞
= 1 +
1
1
1
∑ n
= + = 1+ 2=
3
2 1 − ( 1/
2)
n = 0
Ahora, para la función f(x) = e x , se desea hacer la magnitud del error R n (1) < 0.00005. Por la fórmula de Taylor
con residuo, con x = 1,
| R ( 1)|
=
n
( n+
1) *
f ( x )
,
( n + 1)!
donde 0 < x < 1