Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 21 Diferenciales. Método de Newton
2x 2 (y dx – x dy) – 3y 2 (x dy – y dx) = 0
(2x 2 y + 3y 3 )dx – (2x 3 + 3y 2 x)dy = 0
2 2
dy y( 2x 3y
) y
2 2
dx x( 2x 3y
) x
c) x = 3cos – cos3 , y = 3sen – sen 3.
dx = (–3sen + 3sen3 )d, dy = (3cos – 3cos 3)d
dy
dx cos
cos3
sen
sen3
5. Aproxime las raíces (reales) de x 3 + 2x – 5 = 0.
Trace las gráficas de y = x 3 y y = 5 – 2x en los mismos ejes; observe que debe haber una raíz, la cual queda
entre 1 y 2. Se aplica el método de Newton, con x 0 = 1. Entonces, f(x) = x 3 + 2x – 5 y f (x) = 3x 2 + 2. La
ecuación 5 se vuelve
x = x x x
x − 3
3
n
+ 2
n
−5
2
n
+ 5
n+ 1 n
2
=
2
3xn
+ 2 3xn
+ 2
Entonces,
x
7
1
= = 14 .
5
x 2 1.330 964 467
x 3 1.328 272 82
x 4 1.328 268 856
x 5 1.328 268 856
Una calculadora da la respuesta 1.328 2689, exacta para el número indicado de cifras. Por tanto, la
respuesta obtenida mediante el método de Newton es correcta hasta al menos siete cifras decimales.
6. Aproxime las raíces de 2 cos x – x 2 = 0.
Al trazar las gráficas de y = 2 cos x y y = x 2 , observe que hay dos raíces reales, próximas a 1 y –1. (Como
la función 2 cos x – x 2 es par, si r es una raíz, la otra raíz es –r.) Se aplica el método de Newton con x 0 = 1.
Entonces, f(x) = 2 cos x – x 2 y f (x) = –2 sen x – 2x = –2(x + sen x). La ecuación (5) se vuelve
x = x + 2 2
1 2cos
xn
− xn
xn + 2( xnsenxn
+ cos x
n+ 1 n
=
n
)
2 x + sen x 2 ( x + sen x )
Entonces
n
n
x 1 1.021 885 93
x 2 1.021 689 97
x 3 1.021 689 954
x 4 1.021 689 954
Una graficadora produce 1.021 69, correcto para el número indicado de cifras decimales, de manera que la
respuesta obtenida mediante el método de Newton es precisa al menos con cinco cifras decimales.
n
n
PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS
4
7. Utilice la fórmula (2) para aproximar a) 17
Respuestas: a) 2.031 25; b) 3.996 88; c) 0.5151; d) 0.9651.
5
; b) 1020; c) cos 59º; d) tan 44º.
8. Utilice la fórmula (1) para aproximar el cambio en a) x 3 cuando x cambia de 5 a 5.01; b) 1 cuando x cambia de
x
1 a 0.98.
Respuestas: a) 0.75; b) 0.02