Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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CAPÍTULO 34 Técnicas de integración IV: sustituciones misceláneas
al despejar cos x se obtiene cos x = 2 z
+ z
− 1 = 1− 2
2
1 1 + z 2 . También,
tan( )
sen x sen
x
x/
2
2 cos( x/
2)
2
2
2
sec ( x/
2)
= ( ) = =
7. Resuelva dx
1sen xcos x
.
Sea x = tan –1 z. Mediante las ecuaciones (34.1) se tiene que
tan( x/
2)
2
=
2z
1+
tan ( x/
2)
1 + z
2 2
dx
1sen
xcos
x
2
2
1
z
1 2z
1 z
2
1 z 1
z
2
2
dz
dz
1
1
z z z z dz ln | z | ln | 1 z | C ln
z
( 1
) 1
1
z
tan( x/ 2)
ln
C
1
tan( x/ 2)
C
8. Halle dx
3
2cos x
.
Sea x = 2 tan –1 z. Por medio de las ecuaciones (34.1), resulta
9. Resuelve dx
∫ 2 + cos x
.
∫
2
2
1 + z
3−
2 1 − z
1 + z
2
2
dz =
∫
2 dz
1+
5z
2
2 −1
= tan ( z 5)
+ C
5
( 2 ) +
2 5 −1
= 5 ( )
5
tan tan x C
Sea x = 2 tan –1 z. Al utilizar las ecuaciones (34.1) resulta
2
2
dx 1 z 2 dz
=
+
dz
2
2
2
2 + x
2 +
1 − −
⎛
∫ ∫
= = tan
cos
z 3 + z
1 z ⎞ 2 3 3
C
1 x
C
3 ⎝
⎜
3 ⎠
⎟ + = −
⎛ ⎞
∫ tan
3 ⎝
⎜ tan
3 ( 2)
⎠
⎟ +
2
1 + z
10. Resuelve dx
∫ 5+
4sen x
.
Sea x = 2 tan –1 z. Mediante las ecuaciones (34.1) se obtiene
dx
5
4sen
x
2
2
2
1 z
5 4 2 2
z
1 z
2
dz
( z )
dz
2 dz
58z5z
tan
2 1
5
4 2 9 3
5 25
11. Use la sustitución 1 – x 3 = z 2 5 3
para resolver x 1 x dx.
La sustitución da x 3 = 1 – z 2 , 3x 2 dx = –2z dz e
3
5
2
4
z ( 5 )
C
2
3
1 5tan( x/
2)
4
tan 3 C
5 3 3 3 2 2 2
x 1 x dx x 1 x x dx 1 z z 3 zdz
2
2 2
( ) ( ) ( ) ( 1 z ) z dz
3
3 5
2
2
/
( ) (
3 3 5 45 1 3 3 2
z
z
C x 2 3x
3 ) C