Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

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Derivadas direccionales.
Valores máximos y mínimos
Derivadas direccionales
Sea P(x, y, z) un punto en una superficie z = f(x, y). Por P pasan los planos paralelos a los planos xz y yz, que
cortan la superficie en los arcos PR y PS, y cortan el plano xy en las rectas PM y PN, como se muestra en la
y z y
,
figura 52.1. Observe que P es la base de P, que es perpendicular al plano xy. Las derivadas parciales z x
evaluadas en P(x, y) dan, respectivamente, las razones de cambio de z = PP cuando y y cuando x se mantienen
fijas. Dicho de otro modo, dan las variaciones de z en las direcciones paralelas a los ejes x y y. Estas razones de
cambio son las pendientes de las tangentes de las curvas PR y PS en P.
z
z f(x, y)
R
P
Q
S
O
y
x
M
Figura 52.1
Considere ahora un plano que pasa por P, que es perpendicular al plano xy y que forma un ángulo con ele
eje x. Se que corte la superficie en la curva PQ y el plano xy en la recta PL. La derivada direccional de f(x, y)
en P en la dirección está dada por
dz z z
ds x
cos y
sen (52.1)
La dirección es la dirección del vector (cos )i + (sen )j.
Con la derivada direccional se obtiene la razón de cambio de z = PP en la dirección de PL; esto es igual
a la pendiente de la tangente a la curva PQ en P (véase el problema 1).
P*
L
N
448