Cálculo - Frank Ayres Jr & Elliot Mendelson - 5ed (1)

80
CAPÍTULO 10 Reglas para derivar funciones
EJEMPLO 10.6.
a) Sea f (x) = x + 1. Al despejar x en la ecuación y = x + 1 se obtiene x = y – 1. Entonces la inversa g de f está
dada por la fórmula g(y) = y – 1. Se observa que g invierte el efecto de f y f invierte el efecto de g.
b) Sea f (x) = –x. Al despejar x en y = –x se obtiene x = –y. Por tanto, g(y) = –y es la inversa de f. En este caso,
la inversa de f es la misma función que f.
c) Sea f ( x)= x. La función f está definida sólo para números no negativos, y su rango es el conjunto de los
números no negativos. Si se despeja x en y = x se obtiene x = y 2 , de manera que g(y) = y 2 . Como g es la
inversa de f, g está definida sólo para números no negativos, ya que los valores de f son los números no
negativos. [Puesto que y = f (g(y)), si se permitiera que g se definiera para números negativos, se tendría
–1 = f (g(–1)) = f (1) = 1, que es una contradicción.]
y
d) La inversa de f (x) = 2x – 1 es la función g()= y
+ 1
2 .
Notación
La inversa de f se denota f –1 .
Esta notación no debe confundirse con la notación exponencial para elevar un número a la potencia –1. El
contexto generalmente indica cuál es el significado específico.
No toda función tiene función inversa. Por ejemplo, la función f (x) = x 2 no posee una inversa. Como f (1) =
1 = f (–1), una función inversa g tendría que satisfacer g(1) = 1 y g(1) = –1, lo cual es imposible. [Sin embargo,
si se restringe la función f (x) = x 2 al dominio x 0, entonces la función g()= y ysería una función inversa
de f.]
La condición que una función f debe satisfacer para tener una inversa es que sea uno a uno, es decir, que
para todo x 1 y x 2 , si x 1 x 2 , entonces f (x 1 ) f (x 2 ). De manera equivalente, f es uno a uno si y sólo si, para todo
x 1 y x 2 , si f (x 1 ) = f (x 2 ), entonces x 1 = x 2 .
EJEMPLO 10.7. Demostremos que la función f (x) = 3x + 2 es uno a uno. Suponga que f (x 1 ) = f (x 2 ). Entonces,
3x 1 + 2 = 3x 2 + 2, 3x 1 = 3x 2 , x 1 = x 2 . Por tanto, f es uno a uno. Para hallar la inversa de dicha función, se despeja x en
y = 3x + 2, y se obtiene x = y − 2
3 . Así, f –1 (y) = y − 2 . (En general, si se puede despejar x en y = f (x) en términos de y,
3
entonces se sabe que f es uno a uno.)
Teorema 10.2. Fórmula de la diferenciación para funciones inversas. Sea f uno a uno y continua en el intervalo
(a, b). Entonces:
a) El rango de f es intervalo I (posiblemente infinito) y f es creciente o decreciente. Además, f –1 es continua
en I.
b) Si f es diferenciable en x y f (x 0 ) 0, entonces f –1 1
es diferenciable en y 0 = f (x 0 ) y ( f ) ( y )
1
0
. Esta
f ( x0)
última ecuación a veces se escribe
dx
=
dy dy
1
dx
donde x = f –1 (y).
EJEMPLO 10.8.
Para la demostración, véase el problema 69.
a) Sea y = f (x) = x 2 para x > 0. Entonces, x = f −1 () y = y. Como dy
dx
dx
= 2x, entonces
dy = 1
x
Dy( y)= 1 . [Observe que éste es un caso especial del teorema 8.1(9) cuando m = 1 2 y
2.]
2 = 1
y
2
. Por ende,
b) Sea y = f (x) = x 3 −1
para todo x. Entonces, x = f y = 3 13 /
() y = y para todo y. Como dy
dx = 3x2 , entonces
1
= 2 = 2/3. Esto se cumple para todo y 0. [Advierta que f –1 (0) = 0 y f (0) = 3(0) 2 = 0.]
dx
dy
3x
1
3y